On se propose d'étudier le signe de la fonction f d'expression f(x) = \ln(2x^2-3x-2) .
Quel est l'ensemble de définition de f ?
Ici, la fonction étudiée est du type \ln(u).
D'après le cours, ce type de fonction est défini si et seulement si la composante à l'intérieur du logarithme est strictement positive.
On étudie donc le signe de 2x^2-3x-2, qui est un polynôme du second degré.
Calcul du déterminant :
\Delta= b^2-4ac = (-3)^2 -4 \times(-2) \times 2 = 9 +16 = 25
Calcul des racines :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{3-\sqrt{25}}{4} = \dfrac{-1}{2}
x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{3+\sqrt{25}}{4} = 2
Signe du polynôme :
D'après le cours, un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par ses racines et du signe de -a à l'intérieur.
Ainsi ici, le polynôme 2x^2-3x-2 est strictement positif sur \left]-\infty;\dfrac{-1}{2} \right[ et sur \left]2;+\infty\right[.
Finalement, f est définie lorsque 2x^2-3x-2 est strictement positif.
L'ensemble de définition de f est donc \left]-\infty;\dfrac{-1}{2} \right[\: \cup \: \left]2;+\infty \right[.
Que peut-on dire du signe de f sur son ensemble de définition ?
Afin d'étudier le signe de la fonction f sur \left]-\infty;\dfrac{-1}{2} \right[\: \cup \: ]2;+\infty[, on peut résoudre l'inéquation :
f(x) \geq 0 \Leftrightarrow \ln(2x^2-3x-2) \geq 0 .
Par croissance de la fonction exponentielle sur \mathbb{R} on peut composer cette inéquation sans en changer le sens :
f(x) \geq 0 \Leftrightarrow e^{\ln(2x^2-3x-2)} \geq e^0 \Leftrightarrow 2x^2-3x-2\geq 1 \Leftrightarrow 2x^2-3x-3 \geq 0 (en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle, en particulier : e^{\ln(x)}=x pour tout réel x>0).
On étudie donc le signe du polynôme du second degré : 2x^2-3x-3.
Calcul du déterminant :
\Delta= b^2-4ac = (-3)^2 -4 \times(-3) \times 2 = 9 +24= 33
Calcul des racines :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{3-\sqrt{33}}{4}
x_1 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta} }{2a} = \dfrac{3+\sqrt{33}}{4}
Signe du polynôme :
D'après le cours, un polynôme du second degré est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle délimité par ses racines et du signe de -a à l'intérieur.
Ainsi, ici le polynôme 2x^2-3x-3 est positif sur \left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{33}}{4} \right[ et sur \left]\dfrac{3+\sqrt{33}}{4};+\infty \right[.
Finalement, f est positive lorsque 2x^2-3x-3 est positif.
f est donc positive sur \left]-\infty;\dfrac{3-\sqrt{33}}{4} \right[\: \cup \: \left]\dfrac{3+\sqrt{33}}{4};+\infty \right[.