Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son domaine de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(5 x - 2 \right)} + \frac{1}{x}
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité.
La fonction x \mapsto \ln(x) est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f est dérivable si :
5 x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{2}{5}
De plus, v : x \mapsto \frac{1}{x} est dérivable sur \mathbb{R}^* .
Comme f = \ln(u) + v , f est dérivable sur \left] \dfrac{2}{5}; +\infty \right[ .
Pour dériver une fonction de la forme \ln(u) , on a :
\left( \ln(u(x)) \right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}
Or :
u(x) = 5 x - 2
Donc :
u'(x) = 5
On a également :
v(x) = \frac{1}{x}
Donc :
v'(x) = - \frac{1}{x^{2}}
Enfin :
f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} + v'(x)
Donc \left( \ln{\left(5 x - 2 \right)}+\dfrac{1}{x} \right)' = \frac{5}{5 x - 2}- \frac{1}{x^{2}}.
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son domaine de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(\frac{1}{x - 5} \right)} + \sqrt{x}
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité.
La fonction x \mapsto \ln(x) est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f est dérivable si :
\frac{1}{x - 5} > 0 \Leftrightarrow x > 5
De plus :
v : x \mapsto \sqrt{x} est dérivable sur \mathbb{R}_+^*
Comme f = \ln(u) + v , f est dérivable sur \left] 5; +\infty \right[ .
Pour dériver une fonction de la forme \ln(u) , on a :
\left( \ln(u(x)) \right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}
Or :
u(x) = \frac{1}{x - 5}
Donc :
u'(x) = - \frac{1}{\left(x - 5\right)^{2}}
On a également :
v(x) = \sqrt{x}
Donc :
v'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
Enfin :
f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} + v'(x)
Donc \left( \ln{\left(\frac{1}{x - 5} \right)+\sqrt{x}} \right)' = -\frac{1}{x - 5} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}.
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son domaine de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(\sqrt{x - 2} \right)} + \cos{\left(x \right)}
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité.
La fonction x \mapsto \ln(x) est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f est dérivable si :
\sqrt{x - 2} > 0 \Leftrightarrow x > 2
De plus, v : x \mapsto \cos{\left(x \right)} est dérivable sur \mathbb{R} .
Comme f = \ln(u) + v , f est dérivable sur \left] 2; +\infty \right[ .
Pour dériver une fonction de la forme \ln(u) , on a :
\left( \ln(u(x)) \right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}
Or :
u(x) = \sqrt{x - 2}
Donc :
u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x - 2}}
On a également :
v(x) = \cos{\left(x \right)}
Donc :
v'(x) = - \sin{\left(x \right)}
Enfin :
f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} + v'(x)
Donc :
\left( \ln{\left(\sqrt{x - 2} \right)} +\cos(x)\right)' = \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x-2}}}{\sqrt{x-2}}-\sin(x)=\frac{1}{2 \left(x - 2\right)}- \sin{\left(x \right)}
Ainsi, \left( \ln{\left(\sqrt{x - 2} \right)} +\cos(x)\right)' = - \sin{\left(x \right)} + \frac{1}{2 \left(x - 2\right)}.
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son domaine de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(x^{3} + 1 \right)} + \ln{\left(x^{2} + 1 \right)}
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité.
La fonction x \mapsto \ln(x) est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f est dérivable si :
x^{3} + 1 > 0 \Leftrightarrow x^3 > -1
x^{3} + 1 > 0 \Leftrightarrow x > -1
De plus, v : x \mapsto \ln{\left(x^{2} + 1 \right)} est dérivable sur \mathbb{R} .
Comme f = \ln(u) + v , f est dérivable sur \left] -1; +\infty \right[ .
Pour dériver une fonction de la forme \ln(u) , on a :
\left( \ln(u(x)) \right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}
Or :
u(x) = x^{3} + 1
Donc :
u'(x) = 3 x^{2}
On a également :
v(x) = \ln{\left(x^{2} + 1 \right)}
Donc :
v'(x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}
Enfin :
f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} + v'(x)
Donc \left( \ln{\left(x^{3} + 1 \right)} + \ln{\left(x^{2} + 1 \right)}\right)' = \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \frac{2 x}{x^{2} + 1}.
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son domaine de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(x - 2 \right)} + x^{2}
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité.
La fonction x \mapsto \ln(x) est définie et dérivable sur \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, f est dérivable si : x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2
De plus, v : x \mapsto x^{2} est dérivable sur \mathbb{R} .
Comme f = \ln(u) + v , f est dérivable sur \left] 2;+\infty \right[ .
Pour dériver une fonction de la forme \ln(u) , on a :
\left( \ln(u(x)) \right)' = \dfrac{u'(x)}{u(x)}
Or :
u(x) = x - 2
Donc :
u'(x) = 1
On a également :
v(x) = x^{2}
Donc :
v'(x) = 2 x
Enfin :
f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)} + v'(x)
Donc :
\left( \ln{\left(x - 2 \right)}+x^{2} \right)' = \frac{1}{x - 2} + 2 x
Ainsi, \left( \ln{\left(x - 2 \right)}+x^{2} \right)' = \frac{1}{x - 2} + 2 x.