Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son intervalle de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(\frac{x + 1}{x - 1} \right)}
On cherche à calculer la dérivée d'une fonction de la forme f = \ln(u) avec u dérivable.
Ici :
u(x) = \frac{x + 1}{x - 1}
et
u'(x) = \dfrac{(x-1)-(x+1)}{(x-1)^{2}}=- \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}}
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc :
f'(x)=\dfrac{\dfrac{-2}{(x-1)^2}}{\dfrac{(x+1)}{(x-1)}}=\dfrac{-2}{(x-1)^2}\times\dfrac{(x-1)}{(x+1)}
Ainsi, \left( \ln \left(\frac{x + 1}{x - 1} \right) \right)' = - \frac{2}{x^{2} - 1} .
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son intervalle de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(\cos{\left(3 x \right)} \right)}
On cherche à calculer la dérivée d'une fonction de la forme f = \ln(u) avec u dérivable.
Ici :
u(x) = \cos{\left(3 x \right)}
et
u'(x) = - 3 \sin{\left(3 x \right)}
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc :
\left( \ln \left(\cos{\left(3 x \right)} \right) \right)' = - 3 \dfrac{\sin(3x)}{\cos(3x)}
Ainsi, \left( \ln \left(\cos{\left(3 x \right)} \right) \right)' = - 3 \tan{\left(3 x \right)} .
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son intervalle de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right)}
On cherche à calculer la dérivée d'une fonction de la forme f = \ln(u) avec u dérivable.
Ici :
u(x) = \sqrt{x} + \sqrt{x + 1}
et
u'(x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc :
f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\left( \dfrac{2\sqrt{x}+2\sqrt{x+1}}{4\sqrt{x+1}\sqrt{x}} \right)\times\left( \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} \right)
Ainsi, \left( \ln \left(\sqrt{x} + \sqrt{x + 1} \right) \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{x} \sqrt{x + 1}} .
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son intervalle de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(\left(3 x - 3\right)^{2} \right)}
On cherche à calculer la dérivée d'une fonction de la forme f = \ln(u) avec u dérivable.
Ici :
u(x) = \left(3 x - 3\right)^{2}
et
u'(x)=2\times3\times(3x-3) = 18 x - 18
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Donc :
f'(x)=\dfrac{18(x-1)}{(3x-3)^2}=\dfrac{18(x-1)}{3^2(x-1)^2}
Ainsi, \left( \ln \left(\left(3 x - 3\right)^{2} \right) \right)' = \frac{2}{x - 1} .
Quelle est la dérivée de la fonction suivante sur son intervalle de dérivabilité ?
f:x\longmapsto \ln{\left(x^{2} - 2 \right)}
On cherche à calculer la dérivée d'une fonction de la forme f = \ln(u) avec u dérivable.
Ici :
u(x) = x^{2} - 2
et
u'(x) = 2 x
On sait que la dérivée de \ln(u) est :
\left( \ln(u) \right)' = \dfrac{u'}{u}
Ainsi, \left( \ln \left(x^{2} - 2 \right) \right)' = \frac{2 x}{x^{2} - 2} .