Quelle est la forme simplifiée de \ln(e^2) ?
Si a et b sont 2 réels strictement positifs, \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) .
Ainsi :
\ln(e^2) = \ln(e \times e) = \ln(e) + \ln(e)
\ln(e^2) = 2 \times \ln(e)
Or :
\ln(e) = 1
Donc \ln(e^2) = 2 .
Quelle est la forme simplifiée de \ln(8^{-2}) ?
Si a est un réel strictement positif et n \in \mathbb{Z} , \ln(a^n) = n \times \ln(a) .
Ainsi :
\ln(8^{-2}) = -2 \ln(8)
et 8 = 2 \times 2 \times 2 = 2^3
Donc :
-2 \ln(8) = -2 \ln(2^3) = - 6 \ln(2)
Donc \ln(8^{-2}) = -6 \ln(2) .
Quelle est la forme simplifiée de \ln(a^n), n \geq 0 ?
Si a et b sont 2 réels strictement positifs, \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) .
On peut montrer par récurrence que \forall n \geq 1 et que \ln(a^n) = n \times \ln(a) .
Pour n=1 , \ln(a^1) = \ln(a) = 1 \times \ln(a) .
Et si l'on suppose la propriété vraie pour n > 1 fixé, on a :
\ln(a^{n+1}) = \ln(a^n \times a) = \ln(a^n) + \ln(a)
D'après la propriété :
\ln(a^n) = n \times \ln(a)
Donc :
\ln(a^n) + \ln(a) = n \times \ln(a) + \ln(a) = \ln(a^{n+1})
On a montré la propriété au rang n+1 .
On en déduit donc que \ln(a^n) = n \times \ln(a), n \in \mathbb{N} .
Quelle est la forme simplifiée de \ln(81) ?
On a :
\ln(81) = \ln(9 \times 9) = \ln(3 \times 3 \times 3 \times 3) = \ln(3^4)
Si a est un réel strictement positif et n \in \mathbb{Z} , \ln(a^n) = n \times \ln(a) .
Donc :
\ln(3^4) = 4 \times \ln(3)
Donc \ln(81) = 4 \ln(3) .
Quelle est la forme simplifiée de \ln(20) ?
On a :
\ln(20) = \ln(4 \times 5) = \ln(2 \times 2 \times 5) = \ln(2^2 \times 5)
Si a et b sont 2 réels strictement positifs, \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b) .
Donc :
\ln(2^2 \times 5) = \ln(2^2) + \ln(5)
Si a est un réel strictement positif et n \in \mathbb{Z} , \ln(a^n) = n \times \ln(a) .
Donc :
\ln(2^2) = 2 \ln(2)
Ainsi :
\ln(20) = 2\ln(2) + \ln(5)
Donc \ln(20) = 2\ln(2) + \ln(5) .