Soit f(x) = (3x+2)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = 3x+2
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (3x+2)' = (3x)' + (2)' = 3
Ainsi :
f'(x) = 2 \times 3 \times (3x+2) = 6 (3x+2)
f'(x) = 18x + 12
Soit f(x) = (-x+4)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = (-x+4)
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (-x+4)' = (-x)' + (4)' = -1
Ainsi :
f'(x) = 2 \times (-1) \times (-x+4) = -2 (-x+4)
f'(x) = 2x -8
Soit f(x) = \left(\dfrac{1}{x-1}\right)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = \dfrac{1}{x-1}
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = \left(\dfrac{1}{x-1}\right)' = - \dfrac{1}{(x-1)^2}
Ainsi :
f'(x) = 2 \times \left(- \dfrac{1}{(x-1)^2} \right) \times \dfrac{1}{x-1} =- \dfrac{2}{(x-1)^3}
f'(x) = - \dfrac{2}{(x-1)^3}
Soit f(x) = \left(\sqrt{x} + 1\right)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = \sqrt{x}+1
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (\sqrt{x}+1)' = (\sqrt{x})' + (1)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi :
f'(x) = 2 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times (\sqrt{x}+1) = 2 \dfrac{\sqrt{x}+1}{2\sqrt{x}}
f'(x) = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}
Soit f(x) = \left(\cos(x)\right)^2, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^2 .
En posant :
u(x) = \cos(x)
On a :
f'(x) = 2 \times u'(x) \times u(x)
Or :
u'(x) = (\cos(x))' = -\sin(x)
Ainsi :
f'(x) = 2 \times (-\sin(x)) \times \cos(x) = - 2 \sin(x) \cos(x)
Or :
2 \sin(x) \cos(x) = \sin(2x)
f'(x) = -\sin(2x)
Soit f(x) = (-5x + 4)^3, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^3 .
En posant :
u(x) = -5x + 4
On a :
f'(x) = 3 \times u'(x) u(x)^2
Or :
u'(x) = (-5x+4)' = (-5x)' + (4)' = -5
Ainsi :
f'(x) = 3 \times (-5) \times (-5x+4)^2 = -15(-5x+4)^2
f'(x) = -15(-5x+4)^2
Soit f(x) = (2x-7)^3, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^3 .
En posant :
u(x) = 2x-7
On a :
f'(x) = 3 \times u'(x) u(x)^2
Or :
u'(x) = (2x-7)' = (2x)' - (7)' = 2
Ainsi :
f'(x) = 3 \times 2 \times (2x-7)^2 = 6(2x-7)^2
f'(x) = 6(2x-7)^2
Soit f(x) = \left(\dfrac{1}{x+1}\right)^3, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^3 .
En posant :
u(x) = \dfrac{1}{x+1}
On a :
f'(x) = 3 \times u'(x) u(x)^2
Or :
u'(x) = \left(\dfrac{1}{x+1}\right)' = -\dfrac{1}{(x+1)^2}
Ainsi :
f'(x) = 3 \times \left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right) \times (\left(\dfrac{1}{x+1}\right)^2 = -3 \dfrac{1}{(x+1)^4}
f'(x) = \dfrac{-3}{(x+1)^4}
Soit f(x) = \left(\sqrt{x} - 1\right)^3, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^3 .
En posant :
u(x) = \sqrt{x} - 1
On a :
f'(x) = 3 \times u'(x) u(x)^2
Or :
u'(x) = \left(\sqrt{x} - 1\right)' = (\sqrt{x})' - (1)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi :
f'(x) = 3 \times \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \times \left(\sqrt{x} - 1\right)^2 = \dfrac{3 \left(\sqrt{x} - 1\right)^2}{2\sqrt{x}}
f'(x) = \dfrac{3 \left(\sqrt{x} - 1\right)^2}{2\sqrt{x}}
Soit f(x) = \left(\sin(x)\right)^3, \forall x \in \mathbb{R} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = (u(x))^3 .
En posant :
u(x) = \sin(x)
On a :
f'(x) = 3 \times u'(x) u(x)^2
Or :
u'(x) = \left(\sin(x)\right)' = \cos(x)
Ainsi :
f'(x) = 3 \times \cos(x) \times \sin^2(x) = 3 \cos(x) \sin^2(x)
f'(x) = 3 \cos(x) \sin^2(x)
Soit f(x) = \dfrac{1}{4x-5}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{5}{4} \right\} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \dfrac{1}{u(x)} .
En posant :
u(x) = 4x-5
On a :
f'(x) = - \dfrac{u'(x)}{u(x)^2}
Or :
u'(x) = (4x-5)' = (4x)' - (5)' = 4
Ainsi :
f'(x) = - \dfrac{4}{(4x-5)^2}
f'(x) = - \dfrac{4}{(4x-5)^2}
Soit f(x) = \dfrac{1}{2x-7}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{7}{2} \right\} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \dfrac{1}{u(x)} .
En posant :
u(x) = 2x-7
On a :
f'(x) = - \dfrac{u'(x)}{u(x)^2}
Or :
u'(x) = (2x-7)' = (2x)' - (7)' = 2
Ainsi :
f'(x) = - \dfrac{2}{(2x-7)^2}
f'(x) = - \dfrac{2}{(2x-7)^2}
Soit f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}, \forall x \in \mathbb{R}_+^* .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \dfrac{1}{u(x)} .
En posant :
u(x) = \sqrt{x}
On a :
f'(x) = - \dfrac{u'(x)}{u(x)^2}
Or :
u'(x) = (\sqrt{x})' = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}
Ainsi :
f'(x) = - \dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x})^2} = -\dfrac{1}{2x \sqrt{x}}
Donc f'(x) = -\dfrac{1}{2x \sqrt{x}} .
Soit f(x) = \dfrac{1}{(x+1)^2}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1 \right\} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \dfrac{1}{u(x)} .
En posant :
u(x) = (x+1)^2
On a :
f'(x) = - \dfrac{u'(x)}{u(x)^2}
Or :
u'(x) = ((x+1)^2)' = 2 (x+1)
Ainsi :
f'(x) = - \dfrac{2 (x+1)}{((x+1)^2)^2} = - \dfrac{2}{(x+1)^3}
f'(x) = - \dfrac{2}{(x+1)^3}
Soit f(x) = \dfrac{1}{3x^2 - 1}, \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{1}{\sqrt{3}} \right\} .
Quelle est la dérivée de f ?
f est de la forme f(x) = \dfrac{1}{u(x)} .
En posant :
u(x) = 3x^2 - 1
On a :
f'(x) = - \dfrac{u'(x)}{u(x)^2}
Or :
u'(x) = (3x^2 - 1)' = 6x
Ainsi :
f'(x) = - \dfrac{6x}{(3x^2 - 1)^2}
f'(x) = - \dfrac{6x}{(3x^2 - 1)^2}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{2 x + 2} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .
Ainsi, f est dérivable si :
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow 2x > -2
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{-2}{2} = -1
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow x \in ]-1;+\infty[
Ainsi, f est dérivable sur ]-1;+\infty[ .
Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}
Or :
u'(x) = 2
\sqrt{2 x + 2}' = \frac{1}{\sqrt{2 x + 2}}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{x^{2} + \frac{1}{2}} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .
Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{2}
x^{2} + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}
Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R} .
Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}
Or :
u'(x) = 2 x
\sqrt{x^{2} + \frac{1}{2}}' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} + \frac{1}{2}}}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{x^{2} - 3} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .
Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 3
x^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow x \in ]-\infty; -\sqrt{3} [ \cup ]\sqrt{3} ; +\infty[
Ainsi, f est dérivable sur ]-\infty; -\sqrt{3} [ \cup ]\sqrt{3} ; +\infty[ .
Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}
Or :
u'(x) = 2 x
\sqrt{x^{2} - 3}' = \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 3}}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{x^{2} - 3 x - 4} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .
Ici, x^{2} - 3 x - 4 est un polynôme du second degré. Il est du signe de a = 1 > 0 à l'extérieur des racines.
On a :
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times (1) \times (-4) = 25
Et les racines sont :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 - 5}{2} = -1
et
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 + 5}{2} = 4
Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} - 3 x - 4 > 0 \Leftrightarrow ]-\infty; -1[ \cup ]4; +\infty[
Ainsi, f est dérivable sur ]-\infty; -1[ \cup ]4; +\infty[ .
Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}
Or :
u'(x) = 2 x - 3
\sqrt{x^{2} - 3 x - 4}' = \frac{x - \frac{3}{2}}{\sqrt{x^{2} - 3 x - 4}}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \sqrt{\cos{\left(x \right)}} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .
La fonction f est périodique de période 2 \pi . On peut donc dériver sur l'intervalle [0;2\pi] .
f est dérivable si :
\cos{\left(x \right)} > 0 \Leftrightarrow \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi \right]
Ainsi, f est dérivable sur \left[2k \pi; \dfrac{\pi}{2} + 2k \pi\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{2} + 2k \pi; 2\pi + 2k \pi \right], k \in \mathbb{Z} .
Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}
Or :
u'(x) = - \sin{\left(x \right)}
\sqrt{\cos{\left(x \right)}}' = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)}}}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \left(2 x + 2\right)^{3} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Lorsque la puissance est strictement supérieure à 1 , la fonction est dérivable sur le même intervalle que l'expression sous la puissance.
Ainsi, f est dérivable si x \mapsto 2 x + 2 est dérivable.
Or :
x \mapsto 2 x + 2 est dérivable sur \mathbb{R}
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} .
Pour dériver une fonction de la forme u^n , on a :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
Or :
u'(x) = 2
\left( \left(2 x + 2\right)^{3} \right)' = 6 \left(2 x + 2\right)^{2}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \frac{1}{x^{2}} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Lorsque la puissance est strictement supérieure à 1 , la fonction est dérivable sur le même intervalle que l'expression sous la puissance.
Ainsi, f est dérivable si x \mapsto \frac{1}{x} est dérivable.
Or x \mapsto \frac{1}{x} est dérivable sur \mathbb{R} .
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} .
Pour dériver une fonction de la forme u^n , on a :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
Or :
u'(x) = - \frac{1}{x^{2}}
\left( \frac{1}{x^{2}} \right)' = - \frac{2}{x^{3}}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = x^{2} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Lorsque la puissance est strictement supérieure à 1 , la fonction est dérivable sur le même intervalle que l'expression sous la puissance.
Ainsi, f est dérivable si x \mapsto x est dérivable.
Or, x \mapsto x est dérivable sur \mathbb{R} .
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} .
Pour dériver une fonction de la forme u^n , on a :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
Or :
u'(x) = 1
\left( x^{2} \right)' = 2 x
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \left(x^{2} - 3 x - 4\right)^{5} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Lorsque la puissance est strictement supérieure à 1 , la fonction est dérivable sur le même intervalle que l'expression sous la puissance.
Ainsi, f est dérivable si x \mapsto x^{2} - 3 x - 4 est dérivable.
Or, x \mapsto x^{2} - 3 x - 4 est dérivable sur \mathbb{R} .
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} .
Pour dériver une fonction de la forme u^n , on a :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
Or :
u'(x) = 2 x - 3
\left( \left(x^{2} - 3 x - 4\right)^{5} \right)' = \left(10 x - 15\right) \left(x^{2} - 3 x - 4\right)^{4}
Quelle est la dérivée de la fonction f(x) = \cos^{4}{\left(x \right)} ?
Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Lorsque la puissance est strictement supérieure à 1 , la fonction est dérivable sur le même intervalle que l'expression sous la puissance.
Ainsi, f est dérivable si x \mapsto \cos{\left(x \right)} est dérivable.
Or, x \mapsto \cos{\left(x \right)} est dérivable sur \mathbb{R} .
Donc f est dérivable sur \mathbb{R} .
Pour dériver une fonction de la forme u^n , on a :
\left( (u(x))^n \right)' = n \times u'(x) \times u(x)^{n-1}
Or :
u'(x) = - \sin{\left(x \right)}
\left( \cos^{4}{\left(x \right)} \right)' = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}