On considère l'équation :
(E_1) : \exp(x) - x^n = 0
où x est un réel strictement positif et n un entier naturel non nul.
On cherche les valeurs de n pour lesquelles (E_1) admet deux solutions.
À quelle équation (E_1) est-elle strictement équivalente ?
Soit n un entier naturel non nul.
Pour x > 0 , on a :
\exp(x) - x^n = 0 \Leftrightarrow \exp(x) = x^n
On peut prendre le logarithme des deux côtés de cette équation :
\exp(x) - x^n = 0 \Leftrightarrow \ln(\exp(x)) = \ln(x^n)
\exp(x) - x^n = 0 \Leftrightarrow x = n \ln(x)
\exp(x) - x^n = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x}{n} = \ln(x)
\exp(x) - x^n = 0 \Leftrightarrow \ln(x) -\dfrac{x}{n} = 0
Ainsi, (E_2) : \ln(x) -\dfrac{x}{n} = 0 .
On note f_n(x) = \ln(x) - \dfrac{x}{n} .
Quelle est la dérivée de f_n ?
La fonction f_n est dérivable sur \mathbb{R}_+^* et on a :
f_n'(x) = \left( \ln(x) \right)' - \left( \dfrac{x}{n} \right)'
f_n'(x) =\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{n}
Donc f_n'(x) = \dfrac{n-x}{xn} .
Quel est le tableau de variations de f_n ?
On a :
f_n'(x) > 0 \Leftrightarrow \dfrac{n-x}{xn} > 0
f_n'(x) > 0 \Leftrightarrow n-x> 0
f_n'(x) > 0 \Leftrightarrow n > x
La fonction f_{n} est croissante sur ]-\infty;n].
On calcule les limites en x = 0^+ et x = +\infty :
On a :
\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) = -\infty
et
\lim\limits_{x \to 0^+} -\dfrac{x}{n} = 0
On peut sommer les limites :
\lim\limits_{x \to 0^+} \ln(x) -\dfrac{x}{n} = -\infty
Pour calculer la limite en +\infty , on réécrit f_n :
f_n(x) = \ln(x) - \dfrac{x}{n}
f_n(x) = -\dfrac{x}{n} \left(1 -n\dfrac{\ln(x)}{x} \right)
Or, d'après le théorème des croissances comparées :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} -\dfrac{x}{n} \left(1 -n\dfrac{\ln(x)}{x} \right) = \lim\limits_{x \to +\infty}-\dfrac{x}{n} = -\infty
Comme :
f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{n-x}{xn} = 0
f_n'(x) = 0 \Leftrightarrow x = n
La fonction f_n admet un maximum en x = n et :
f_n(n) = \ln(n) -1
On en déduit le tableau de variations suivant :
Pour quelles valeurs de n l'équation (E_1) admet-elle deux solutions ?
On a :
f_1 admet un maximum f_1(1) = -1
et
f_2 admet un maximum f_2(2) = \ln(2) - 1 \approx-0{,}3
Ces maximums sont négatifs donc f_1 et f_2 ne s'annulent pas sur ]0;+\infty[.
On suppose que n > 2 .
On remarque que f_{3}(3) = ln(3) - 1 \approx0{,}1 car 3\gt e.
Pour tout entier n \geqslant 3, on a : \ln(n)\gt 1, c'est-à-dire f_{n}(n)\gt0.
La fonction f_n est continue et strictement croissante sur ]-\infty;0].
Comme :
\lim\limits_{x \to 0^{+}}f_{n}(x)=-\infty
et
f_n(n) > 0
D'après un corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, la fonction f_n s'annule une et une seule fois sur l'intervalle ]0, n] .
On raisonne de même sur ]n;+\infty[ :
f_n est décroissante
et
f_n(n) > 0
et
\lim\limits_{x \to +\infty}f_{n}(x)=-\infty
La fonction f_n s'annule une et une seule fois sur l'intervalle [n ; +\infty[ .
Enfin, on déduit que f_n s'annule exactement deux fois dans l'intervalle \mathbb{R}_+^* , c'est-à-dire (E_1) a exactement deux solutions dans \mathbb{R}_+^* .
Ainsi, on a montré les entiers naturels n pour lesquels l'équation (E_1) admet deux solutions si n \geq 3 .