Dériver une fonction composée par une fonction racine carrée Exercice

Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .

Ainsi, f est dérivable si :
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow 2x > -2 
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow x > \dfrac{-2}{2} = -1
2 x + 2 > 0 \Leftrightarrow x \in ]-1;+\infty[

Ainsi, f est dérivable sur ]-1;+\infty[ .

Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}

Or :
u'(x) = 2

Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .

Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{2}
x^{2} + \frac{1}{2} > 0 \Leftrightarrow x \in \mathbb{R}

Ainsi, f est dérivable sur \mathbb{R} .

Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}

Or :
u'(x) = 2 x

Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .

Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow x^2 > 3
x^{2} - 3 > 0 \Leftrightarrow x \in  ]-\infty; -\sqrt{3} [ \cup ]\sqrt{3} ; +\infty[

Ainsi, f est dérivable sur ]-\infty; -\sqrt{3} [ \cup ]\sqrt{3} ; +\infty[ .

Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}

Or :
u'(x) = 2 x

Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .

Ici,  x^{2} - 3 x - 4 est un polynôme du second degré. Il est du signe de a = 1 > 0 à l'extérieur des racines.

On a :
\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \times (1) \times (-4) = 25

Et les racines sont :
x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 - 5}{2} = -1
et
x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{3 + 5}{2} = 4

Ainsi, f est dérivable si :
x^{2} - 3 x - 4 > 0 \Leftrightarrow ]-\infty; -1[ \cup ]4; +\infty[

Ainsi, f est dérivable sur ]-\infty; -1[ \cup ]4; +\infty[ .

Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}

Or :
u'(x) = 2 x - 3

Avant de dériver une fonction, on détermine le domaine de dérivabilité. Pour cela, il faut que l'expression sous la racine soit strictement positive. En effet, la dérivée de x \mapsto \sqrt{x} tend vers + \infty en 0 , et n'est pas définie pour des x < 0 .

La fonction f est périodique de période 2 \pi . On peut donc dériver sur l'intervalle [0;2\pi] .

f est dérivable si :
\cos{\left(x \right)} > 0 \Leftrightarrow \left[0; \dfrac{\pi}{2}\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{2}; 2\pi \right]

Ainsi, f est dérivable sur \left[2k \pi; \dfrac{\pi}{2} + 2k \pi\right[ \cup \left]\dfrac{3\pi}{2} + 2k \pi; 2\pi + 2k \pi \right], k \in \mathbb{Z} .

Pour dériver une fonction de la forme \sqrt{u} , on a :
\sqrt{u(x)}' = \dfrac{u'(x)}{2 \sqrt{u(x)}}

Or :
u'(x) = - \sin{\left(x \right)}