Comment se simplifie l'expression \ln{\left(\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x + y}} \right)} ?
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
On aura donc :
\ln{\left(\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x + y}} \right)} = \ln{\left(\sqrt{2x} \right)} - \ln{\left(\sqrt{x+y} \right)}
De plus, pour tout nombre réel x strictement positif, on a la propriété suivante :
\ln\left(\sqrt{x} \right) = \dfrac{1}{2} \ln \left( x\right)
Ainsi :
\ln{\left(\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x + y}} \right)} = \ln{\left(\sqrt{2x} \right)} - \ln{\left(\sqrt{x+y} \right)}
\ln{\left(\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x + y}} \right)} = \dfrac{1}{2} \ln{\left(2x \right)} - \dfrac{1}{2} \ln{\left(x+y \right)}
De plus, pour tout nombre réel x strictement positif, on a la propriété suivante :
\ln(2x) = \ln(2)+\ln(x)
Donc \ln{\left(\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{x + y}} \right)} = \frac{\ln{\left(x \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(x + y \right)}}{2} + \frac{\ln{\left(2 \right)}}{2} .
Comment se simplifie l'expression \ln{\left(\frac{x y}{\sqrt{x + y}} \right)} ?
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
On aura donc :
\ln{\left(\frac{x y}{\sqrt{x + y}} \right)} = \ln{\left(xy \right)} - \ln{\left(\sqrt{x + y} \right)}
De plus, pour tout x > 0 , on a la propriété suivante :
\ln\left(\sqrt{x} \right) = \dfrac{1}{2} \ln \left( x\right)
Donc :
\ln{\left(\frac{x y}{\sqrt{x + y}} \right)} = \ln{\left(xy \right)} - \ln{\left(\sqrt{x + y} \right)}
\ln{\left(\frac{x y}{\sqrt{x + y}} \right)} = \ln{\left(xy \right)} - \frac{\ln{\left(x + y \right)}}{2}
De plus, pour tout x\gt0 et y\gt0, on a la propriété :
\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)
Donc :
\ln\left( \dfrac{xy}{\sqrt{x+y}}\right)=\ln(x)+\ln(y)-\dfrac{\ln(x+y)}{2}
Ainsi, \ln{\left(\frac{x y}{\sqrt{x + y}} \right)} = \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(y \right)} - \frac{\ln{\left(x + y \right)}}{2} .
Comment se simplifie l'expression \ln{\left(\frac{x^{3}}{y^{2}} \right)} ?
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
On aura donc :
\ln{\left(\frac{x^{3}}{y^{2}} \right)} = \ln\left(x^3 \right) - \ln\left(y^2 \right)
De plus, pour tout x > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( x^n \right) = n \ln \left( x\right)
Donc :
\ln\left( \dfrac{x^{3}}{y^{2}} \right)=3\ln(x)-2\ln(y)
Ainsi, \ln{\left(\frac{x^{3}}{y^{2}} \right)} = 3 \ln{\left(x \right)} - 2 \ln{\left(y \right)} .
Comment se simplifie l'expression \ln{\left(\frac{3(1-x)}{\left(y - 1\right)^{3}} \right)} ?
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
-3x + 3\gt0\Leftrightarrow x\lt1 et \left( y-1 \right)^{3}\gt0 \Leftrightarrow y\gt 1
Avec x \lt 1 et y \gt1, on aura donc :
\ln{\left(\frac{- 3 x + 3}{\left(y - 1\right)^{3}} \right)} = \ln(-3x + 3) - \ln\left((y - 1)^3\right)
De plus, pour tout x > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( x^n \right) = n \ln \left( x\right)
Ainsi :
\ln\left( \dfrac{-3x+3}{(y-1)^{3}} \right) = \ln(-3x+3)-3\ln(y-1)
Donc \ln{\left(\frac{- 3 x + 3 }{\left(y-1\right)^{3}} \right)} = \ln(-3x + 3) - 3 \ln\left(y-1\right) .
Comment se simplifie l'expression \ln{\left(\frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{y}} \right)} ?
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
Pour tout x,y\gt0, on aura donc :
\ln{\left(\frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{y}} \right)} = \ln(\sqrt{x}) - \ln(3\sqrt{y})
De plus, pour tout x > 0 , on a la propriété suivante :
\ln\left(\sqrt{x} \right) = \dfrac{1}{2} \ln \left( x\right)
Donc :
\ln{\left(\frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{y}} \right)} = \ln(\sqrt{x}) - \ln(3) - \ln(\sqrt{y})
Ainsi, \ln{\left(\frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{y}} \right)} =\dfrac{1}{2} \ln(x) - \dfrac{1}{2} \ln(y) - \ln(3) .