On considère la fonction f : x\longmapsto ln(3x-7).
Quel est l'ensemble de définition de f ?
f est une fonction logarithme népérien composé par une fonction affine.
D'après le cours, la fonction ln(u) est définie sur l'intervalle I tel que \forall x \in I, u(x) \gt 0.
Ici, on a :
f : x \longmapsto ln(3x-7)
3x-7\gt 0 \Leftrightarrow x \gt \dfrac{7}{3}
f est donc définie sur \left] \dfrac{7}{3} ; +\infty \right[.
Quel est l'ensemble de dérivation de f ?
f est une fonction logarithme népérien composée par une fonction affine. D'après le cours, la fonction ln(u) est dérivable sur l'intervalle I tel que \forall x \in I, u(x) \gt 0.
Or u est strictement positive sur \left] \dfrac{7}{3} ; +\infty \right[.
f est donc dérivable sur \left] \dfrac{7}{3} ; +\infty \right[.
Quelle est l'expression de la dérivée f' de la fonction f ?
f est une fonction logarithme népérien composée par une fonction affine de la manière suivante :
\forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, f(x) = ln(u(x))
où u est la fonction définie par \forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, u(x) = 3x-7.
D'après le cours, on a :
\forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, f'(x) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}\\\\\Leftrightarrow \forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, f'(x) = \dfrac{(3x-7)'}{3x-7}\\\\\\\Leftrightarrow \forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, f'(x) = \dfrac{3}{3x-7}\\\\
Donc \forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, f'(x) = \dfrac{3}{3x-7}\\\\.
Quel est le tableau de variations de la fonction f ?
Pour établir le tableau de variations de f, il faut étudier le signe de sa dérivée.
On a :
\forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, f'(x) = \dfrac{3}{3x-7}\\\\
Or, on a déjà montré que \forall x \in \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[, 3x-7 \gt 0.
f' est donc strictement positive sur \left] \dfrac{7}{3} +\infty\right[.
Le tableau de variations de f est donc le suivant :
Quelles sont les valeurs de \lim\limits_{x \to \dfrac{7}{3}^{+}} f(x) et \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) ?
- Calcul de \lim\limits_{x \to \dfrac{7}{3}^{+}}f(x) :
On sait que \lim\limits_{X \to 0^{+}} ln(X) = -\infty.
Donc :
\lim\limits_{X \to \dfrac{7}{3}^{+}} ln(3x-7) = -\infty
-
Calcul de \lim\limits_{x \to +\infty}f(x) :
On sait que \lim\limits_{x \to +\infty}ln(x) = +\infty.
Donc :
\lim\limits_{x \to +\infty}ln(3x-7) = +\infty
Ainsi :
\lim\limits_{x \to \dfrac{7}{3}^{+}}f(x) = -\infty
\lim\limits_{x \to +\infty}f(x) = +\infty