Quelles sont les solutions de l'équation \ln{\left(x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 3 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
\ln(x^{2}) et \ln(x+3) sont définis pour x\neq0 et x \gt-3.
Pour tout nombre réel non nul strictement supérieur à -3, on peut donc simplifier l'équation :
\ln{\left(x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 3 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(\frac{x^{2}}{2 x + 6} \right)} = 0
\ln{\left(x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 3 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(\frac{x^{2}}{2 x + 6} \right)} = \ln(1)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y
\ln{\left(x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 3 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \left(\frac{x^{2}}{2 x + 6} \right) = 1
\ln{\left(x^{2} \right)} - \ln{\left(x + 3 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow x^2 -2 x -6 = 0
On résout une équation du second degré :
\Delta = 4 + 6 \times 4 = 28 = (2\sqrt{7})^2
Donc :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2 - 2\sqrt{7}}{2} = 1-\sqrt{7}
et
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2+ 2\sqrt{7}}{2} = 1+\sqrt{7}
Ces résultats étant strictement supérieurs à -3, on en déduit que les solutions de cette équation sont \left\{1 - \sqrt{7}, 1 + \sqrt{7}\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation \ln{\left(x + 3 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
\ln\left(x+3\right) et \ln\left(x+4\right) ne sont définis que si x+3\gt0 et x + 4\gt0, c'est-à-dire pour x\gt-3.
Pour tout nombre réel x\gt-3, on peut donc simplifier l'équation :
\ln{\left(x + 3 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(\frac{\left(x + 3\right) \left(x + 4\right)}{2} \right)} = 0
\ln{\left(x + 3 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(\frac{x^2 + 7x + 12}{2} \right)} = \ln(1)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y
\ln{\left(x + 3 \right)} + \ln{\left(x + 4 \right)} - \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow x^2 + 7x + 10 = 0
On résout une équation du second degré :
\Delta = 49 - 4 \times 10 = 9 = (3)^2
Donc :
x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-7 - 3}{2} = -5
et
x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-7 + 3}{2} = -2
Comme x_{1}\lt-3, on en déduit que l'unique solution de cette équation est \left\{ -2 \right\}.
Quelles sont les solutions de l'équation - \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 x \right)} + \ln{\left(4 x \right)} + 1 = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
\ln\left(x\right), \ln\left(3x\right) et \ln\left(4x\right) sont définis pour tout réel x strictement positif.
Pour tout nombre réel x\gt0, on peut donc simplifier l'équation :
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 x \right)} + \ln{\left(4 x \right)} + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(\dfrac{12x^2}{x} \right)} + \ln(e) = 0
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 x \right)} + \ln{\left(4 x \right)} + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(12 x \right)} + \ln(e) = \ln(1)
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 x \right)} + \ln{\left(4 x \right)} + 1 = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(12 x \times e \right)} = \ln(1)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 x \right)} + \ln{\left(4 x \right)} + 1 = 0 \Leftrightarrow 12xe = 1
- \ln{\left(x \right)} + \ln{\left(3 x \right)} + \ln{\left(4 x \right)} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{12e}
On en déduit que l'unique solution (strictement positive) de cette équation est \left\{\frac{1}{12 e}\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation - \ln{\left(x - 1 \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} - \ln{\left(3 \right)} = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
\ln\left(x-1\right) et \ln\left(x+1\right) ne sont définis que pour x-1\gt0 et x + 1\gt0 c'est-à-dire pour x\gt1.
On peut donc simplifier l'équation :
- \ln{\left(x - 1 \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} - \ln{\left(3 \right)} = 0 \Leftrightarrow \ln{\left(\dfrac{\frac{x+1}{3}}{x-1} \right)} = \ln(1)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y
- \ln{\left(x - 1 \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} - \ln{\left(3 \right)} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{\frac{x+1}{3}}{x-1} = 1
- \ln{\left(x - 1 \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} - \ln{\left(3 \right)} = 0 \Leftrightarrow x+1=3(x-1)
- \ln{\left(x - 1 \right)} + \ln{\left(x + 1 \right)} - \ln{\left(3 \right)} = 0 \Leftrightarrow 2x=4
On en déduit que l'unique solution de cette équation est \left\{2\right\} .
Quelles sont les solutions de l'équation \ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x - 1 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} = 0 ?
Pour résoudre une équation avec des logarithmes, on souhaite avoir un unique logarithme à droite et à gauche de l'équation pour utiliser la bijectivité de la fonction x \mapsto \ln(x) .
Pour tout x, y > 0 , on a la propriété suivante pour le logarithme :
\ln\left( \dfrac{x}{y} \right) = \ln \left( x\right) - \ln \left( y\right)
et
\ln\left( xy \right) = \ln \left( x\right) + \ln \left( y\right)
\ln\left(x-2\right) et \ln\left(x-1\right) sont définis pour x - 2 \gt0 et x - 1\gt0, c'est-à-dire pour x\gt2.
Pour tout nombre réel x \gt 2, on peut donc simplifier l'équation :
\ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x - 1 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \ln{\left( \dfrac{x - 2}{x-1} \right)} - \ln(4) = \ln(1)
\ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x - 1 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \ln{\left( \dfrac{x - 2}{4(x-1)} \right)} = \ln(1)
Comme pour tout x,y > 0 , on a :
\ln(x) = \ln(y) \Leftrightarrow x = y
\ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x - 1 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{x - 2}{4(x-1)} = 1
\ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x - 1 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow x - 2=4(x-1)
\ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x - 1 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow 3x=2
\ln{\left(x - 2 \right)} - \ln{\left(x - 1 \right)} - 2 \ln{\left(2 \right)} = 0 \Leftrightarrow x=\dfrac{2}{3}
Mais \dfrac{2}{3}\lt2.
Cette équation n'admet donc pas de solution : \left\{ \varnothing \right\}.