Fonctions de référence Cours

Sommaire

ILes fonctions affinesIILa fonction carréADéfinitionBCourbe représentativeCParitéDSens de variations et signeEFonction carré et inégalitésIIILa fonction racine carréeADéfinitionBCourbe représentativeCSens de variation et signeDRelation avec la fonction carré (approfondissement)IVLa fonction cubeADéfinitionBCourbe représentativeCParitéDSens de variation et signeEFonction cube et inégalitésVComparaison des fonctions carré et cubeVILa fonction inverseADéfinitionBLa courbe représentativeCParitéDSens de variation et signeEFonction inverse et inégalités

La plupart des fonctions sont construites à partir d'un petit nombre de fonctions que l'on appelle les fonctions de référence (ou fonctions usuelles).

Il est bon de connaître les propriétés et les principales caractéristiques de ces quelques fonctions.

I

Les fonctions affines

Fonction affine

Une fonction définie sur d'expression f(x)=ax+b, où a et b sont des réels fixés, est une fonction affine.

Sa courbe représentative est une une droite.

Si f est une fonction affine d'expression f(x)=ax+b, où a et b sont des réels, alors le réel a détermine la direction de la droite.

Il est appelé coefficient directeur, ou pente.

  • Si le coefficient directeur a est strictement positif, cette fonction est strictement croissante sur \mathbb{R} .
  • Si le coefficient directeur a est strictement négatif, elle est strictement décroissante sur \mathbb{R} .
  • Si le coefficient directeur a est nul, elle est constante sur \mathbb{R} .

Soit f la fonction affine d'expression f\left(x\right)=6x-18.

Le coefficient directeur est 6, il est positif donc   f   est croissante sur \mathbb{R}.

-

Soit f une fonction affine d'expression f(x)=ax+b.

  • Si a\neq 0ax+b=0\Leftrightarrow x=\dfrac{-b} a.
  • Si a=0, alors l'expression ne s'annule jamais, sauf si b=0  également.
II

La fonction carré

A

Définition

Fonction carré

La fonction carré est la fonction définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right)=x^2

L'image de 2 par la fonction carré est 4 car 2^2=4.

B

Courbe représentative

Dans le plan muni d'un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.

-
C

Parité

La fonction carré est une fonction paire :

  • son ensemble de définition est centré en 0 ;
  • pour tout nombre réel x, f\left(-x\right)=f\left(x\right).

 

Comme pour toute fonction paire, dans un repère orthogonal sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

  • L'ensemble de définition de la fonction carré est \mathbb{R}, qui est bien centré en O.
  • Pour tout réel x, on a \left(-x\right)^2=x^2.
-
D

Sens de variations et signe

La fonction carré est :

  • strictement décroissante sur \left] -\infty ; 0 \right] ;
  • strictement croissante sur \left[0 ; +\infty \right[.
Cas 1

Sur  \left[0 ; +\infty \right[ :

Soient deux réels a et b tels que 0 \leqslant a \lt b.

On veut comparer leurs images a^2  et b^2.

Cela revient à chercher le signe de b^2-a^2.

Or  b^2-a^2 = \left(b+a\right)\left(b-a\right). (C'est une identité remarquable, voir le chapitre « Calcul littéral ».)

  • Comme a \lt b, b-a \gt 0.

  • De plus, comme a et b sont positifs, et b est non nul, a+b \gt 0.

Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc b^2-a^2 = \left(b+a\right)\left(b-a\right) \gt 0.

On en déduit que  b^2 \gt a^2.

Si 0 \leqslant a \lt b alors a^2 \lt b^2.

La fonction carré est donc strictement croissante sur \left[ 0; +\infty \right[.

Cas 2

Sur   \left] -\infty;0 \right]   :

Soient deux réels a et b tels que  a \lt b \leqslant 0.

On suit le même raisonnement qu'auparavant.

Comme a et b sont négatifs, et b est non nul,  a+b \lt 0.

Le produit de deux nombres strictement positifs est strictement positif, donc  b^2-a^2 = \left(b+a\right)\left(b-a\right) \lt 0.

On en déduit que   b^2 \lt a^2.

Si  a \lt b \leqslant 0  alors  a^2 \gt b^2.

La fonction carré est donc strictement décroissante sur  \left] -\infty;0 \right].

Voici le tableau de variations de la fonction carré :

-

On retrouve sur le tableau de variations le fait que la fonction carré est toujours positive ou nulle.

Pour tout x \in \mathbb{R}, x^2 \geqslant 0.

E

Fonction carré et inégalités

Connaître les variations de la fonction carré permet de l'utiliser dans les inégalités. En effet, la croissance ou décroissance d'une fonction a un impact sur l'ordre des images.

Ce point est abordé dans le cours « Variations de fonctions » de la classe de seconde.

Soient a et b deux réels.

  • Si a et b sont tous les deux positifs, on conserve l'ordre quand on applique la fonction carré. Autrement dit, si  0 \leqslant a \lt b alors a^2 \lt b^2.
  • Si a et b sont tous les deux négatifs, on inverse l'ordre quand on applique la fonction carré. Autrement dit, si  a \lt b\leqslant 0 alors a^2 \gt b^2.

Autrement dit : l'ordre des images est conservé sur l'intervalle  \left] 0; + \infty \right[ où la fonction carré est croissante, mais il est inversé sur l'intervalle  \left] -\infty;0 \right[ où elle est décroissante.

On peut connaître l'ordre de a^2 et b^2 seulement dans le cas où a et b sont de même signe. Mais si a et b n'ont pas le même signe, ou que l'on ne sait pas si c'est le cas, on ne peut rien dire de l'ordre de a^2 et b^2.

  • 0 \lt 3 \lt 5 donc 0 \lt 3^2 \lt 5^2.
  • Si x \lt \left(-2\right), alors  x^2 \gt \left(-2\right)^2 car x et (−2) sont tous les deux négatifs.
  • Si x \lt 3, on ne peut pas connaître l'ordre de x^2 et 3^2, car on ne sait pas si x est positif ou non.
III

La fonction racine carrée

A

Définition

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée est définie sur \left[ 0 ; + \infty \right[  par :

f\left(x\right)=\sqrt{x}

B

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction racine carrée est la suivante :

-
C

Sens de variation et signe

La fonction racine carrée est strictement croissante sur \left[ 0 ; + \infty \right[.

Soient deux réels a et b tels que 0\le a<b.
On veut comparer leurs images \sqrt a et  \sqrt b.
Cela revient à chercher le signe de \sqrt b-\sqrt a.
Comme a^2-b^2=(a-b)(a+b), alors \sqrt b-\sqrt a\ =\dfrac{(\sqrt b)^2-(\sqrt a)^2}{\sqrt b+\sqrt a}\ =\dfrac{b-a}{\sqrt b+\sqrt a}.
D'où, si a+b\ \neq \ 0a-b=\frac{a^2-b^2}{a+b}.
Dans notre cas, on a bien \sqrt a+\sqrt b\ \neq \ 0 car \sqrt a \ et \sqrt b sont positifs et b ne peut pas être nul, donc \sqrt b non plus.
Comme a<b, on a b-a>0.
De plus, \sqrt a+\sqrt b\ >\ 0.
Le quotient de deux nombres strictement positifs est strictement positif,
donc \sqrt b-\sqrt a\ =\dfrac{b-a}{\sqrt b+\sqrt a}\ >\ 0.
On en déduit que \sqrt a\ <\ \sqrt b.

Si 0 \leqslant a \lt b  alors \sqrt{a} \lt \sqrt{b}.

La fonction racine carrée est donc strictement croissante sur  \left[ 0 ; + \infty \right[.

Le tableau de variation de la fonction racine carrée est le suivant :

-

On retrouve dans le tableau de variation le fait que la fonction racine carrée est toujours positive :

Pour tout x \in \mathbb{R}, \sqrt{x} \geqslant 0.

D

Relation avec la fonction carré (approfondissement)

La fonction racine carré est la réciproque de la fonction carré sur \left[ 0 ; +\infty \right[.

En effet, l'image de x par la fonction racine est l'antécédent positif de x par la fonction carré.

Graphiquement, cela revient à dire que, sur \left[ 0 ; +\infty \right[, les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y=x.

-
IV

La fonction cube

A

Définition

Fonction cube

La fonction cube est la fonction définie sur \mathbb{R} qui a pour expression :

 f(x)=x^3

B

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction cube est la suivante :

-
C

Parité

La fonction cube est impaire, c'est-à-dire que :

  • son ensemble de définition est centré en 0 ; 
  • pour tout réel xf(-x)=-f(x).

 

Comme pour toute fonction impaire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère. 

  • L'ensemble de définition de la fonction cube est \mathbb{R}, qui est bien centré en 0.
  • Pour tout réel x, (-x)^3=(-x)\times (-x)^2=(-x)\times x^2=-(x\times x^2)=-x^3.
-
D

Sens de variation et signe

La fonction cube est strictement croissante sur \mathbb{R}.

Son tableau de variations est le suivant :

-

La fonction cube est :

  • strictement négative sur \left]-\infty ; 0\right[ ;
  • strictement positive sur  \left]0 ;+\infty\right[ ;
  • nulle lorsque x=0.
E

Fonction cube et inégalités

La fonction étant strictement croissante sur \mathbb{R}, les images sont toujours rangées dans le même ordre que les antécédents. Autrement dit :

Soient a et b deux nombres réels.

Si a<b, alors a^3\ <\ b^3.

-
V

Comparaison des fonctions carré et cube

Soit x un nombre réel positif.

  • Si x=0 ou x=1, x= x^2=x^3.

  • Si 0 < x <1 , x^3\ <\ x^2\ <\ x.

  • Si x > 1, x^3 > x^2 > x.

  • 0^2=0^3=0 et 1^2=1^3=1

  • Soit un réel  x tel que 0\ <x<\ 1.
  • En multipliant chaque membre de l'inégalité par  x, on obtient :

    0 < x^2  < x

    En effet, x est positif, donc on conserve le sens de l'inégalité.

    En multipliant encore une fois par x, on obtient :

    0\ <\ x^3\ <\ x^2

    Donc finalement : x^3\ <\ x^2\ <\ x.

  • Soit un réel  x tel que x\ >\ 1.

    En multipliant chaque membre de l'inégalité par  x, on obtient :

    x^2\ >\ x

    En effet,  x est positif, donc on conserve le sens de l'inégalité.

    En multipliant encore une fois par x, on obtient :

    x^3\ >\ x^2

    Donc finalement : x^3\ >\ x^2\ >\ x.

Cette propriété peut s'interpréter en termes de position relative des courbes d'équations y=x, y=x^2 et y=x^3 :

  • Les courbes d'équations y=xy=x^2 et  y=x^3 se coupent aux points de coordonnées (0;0) et (1;1).
  • Pour 0< x < 1, la courbe de la fonction cube est sous la courbe de la fonction carré, qui elle-même est sous la droite d'équation y=x.
  • Pour x > 1, la droite d'équation  y=x est sous la courbe de la fonction carré, qui elle-même est sous la courbe de la fonction cube.
-
VI

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse est définie sur \mathbb{R} \backslash \{0\} par : 

f\left(x\right)= \dfrac {1}{x}

La fonction inverse n'est pas définie en 0.

B

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-
C

Parité

La fonction inverse est impaire. Autrement dit :

  • son ensemble de définition est centré en O ;
  • pour tout réel x, f\left(-x\right)=-f\left(x\right).

Comme pour toute fonction impaire, sa courbe est donc symétrique par rapport à l'origine du repère.

  • L'ensemble de définition de la fonction inverse est \mathbb{R} \backslash \{0\}, qui est bien centré en O .
  • Pour tout nombre réel x, f\left(-x\right)=\dfrac 1 {-x} = - \dfrac 1 x.
-
D

Sens de variation et signe

La fonction inverse est décroissante sur \left]−\infty;0\right[ et sur \left]0;+\infty \right[.

Cas 1

Sur ]0 ; +\infty[

Soient deux réels a et b tels que 0<a<b.

On veut comparer leurs images \dfrac 1 a et \dfrac 1 b.

Cela revient à chercher le signe de \dfrac 1 b-\dfrac 1 a.

Or, \dfrac 1 b-\dfrac 1 a=\dfrac{1\times a}{b\times a}-\dfrac{1\times b}{a\times b}=\dfrac{a-b}{ab}.

Comme a<b, on a a-b<0.

De plus, comme a>0\text{ et }b>0, \mathit{ab}\ >\ 0.

Donc \dfrac 1 b-\dfrac 1 a=\dfrac{a-b}{\mathit{ab}}\ <\ 0.

On en déduit que \dfrac 1 a >\dfrac 1 b.

Cas 2

Sur ]-\infty ; 0[

On fait le même calcul, avec encore :

a-b<0 car a<b ;

Comme a<0\text{ et }b<0, \mathit{ab}\ >\ 0.

Donc \dfrac 1 b-\dfrac 1 a=\dfrac{a-b}{\mathit{ab}}\ <\ 0 et \dfrac 1 a\ >\dfrac{1}{b}.

Conclusion :

La fonction inverse est donc strictement décroissante sur \left]-\infty ;0\right[.

Son tableau de variations est le suivant :

-
E

Fonction inverse et inégalités

On déduit la propriété suivante du tableau de variation de la fonction inverse :

Soient a et b des nombres réels tels que a<b.

  • Si 0<a<b, alors \dfrac 1 a\ >\ \dfrac 1 b

    L'ordre des images est inversé car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]0;+\infty[.

  • Si a<b<0, alors \dfrac 1 a\ >\ \dfrac 1 b

    L'ordre des images est inversé car la fonction inverse est strictement décroissante sur ]-\infty ;0[.

  • Si a<0<b, \dfrac 1 a reste négatif tandis que \dfrac 1 b reste positif, on a donc \dfrac 1 a\ <\ \dfrac 1 b

Lorsque a et b sont de même signe, l'ordre est inversé quand on applique la fonction inverse.

S'ils sont de signes différents, l'ordre est conservé.

Si on ne connaît pas le signe de a et b, on ne peut rien conclure sur l'ordre des images !

  • 0<3<5 donc \dfrac 1 3 >\dfrac 1 5.
  • Si x<−2, alors x<−2<0 donc \dfrac 1 x >\dfrac 1{−2}.
  • Si  x \lt 3, on ne peut pas connaître l'ordre de \dfrac 1 x et \dfrac 1 3, car on ne sait pas si x et 3 ont le même signe.