Généralités sur les fonctionsCours

I

Définitions

A

Fonction

Fonction

On appelle fonction numérique, ou simplement fonction, un procédé qui, à un nombre  x  associe un unique nombre  y.

Si on appelle  f la fonction numérique, on note :

\(

Image

On appelle « image de x par la fonction f » le nombre renvoyé par f quand on a pour point de départ le nombre x, c'est-à-dire f(x).

Antécédent

On appelle « antécédent d'un nombre y par la fonction f » tout nombre dont l'image par f est y .

On peut définir une fonction sur l'ensemble des nombres 1, 3 et 4 avec les associations suivantes :

-

1 a une seule image par f qui est 2 : f(1)=2.

7 a deux antécédents par f qui sont 3 et 4 : f(3)=f(4)=7.

  • Un nombre ne peut avoir qu'une seule image par une fonction.
  • Mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
B

Expression d'une fonction

En pratique, plutôt que d'associer les nombres un par un, on va généralement donner une expression qui indiquera comment calculer l'image d'un nombre x donné.

Soit f la fonction qui à tout x réel associe le réel x+2+\dfrac{1}{x}.

On note : f\left(x\right)=x+2+\dfrac{1}{x}.

Pour calculer l'image d'un nombre réel x par la fonction f, on doit donc faire le calcul x+2+\dfrac{1}{x}, en remplaçant x  par sa valeur.

Par exemple, l'image de 3 par f s'obtient en remplaçant x par 3 partout dans l'expression et en effectuant le calcul :  f\left(\textcolor{Green}{3}\right)={\textcolor{Green}{3}} + 2+\dfrac{1}{\textcolor{Green}{3}}.

On conclut que l'image de 3 par f est \dfrac {16}{3}.

Les fonctions affines sont des fonctions qui ont une expression de la forme : f\left(x\right)=ax+b, où  a  et b sont des nombres réels fixés.

II

Domaine de définition

Dans certains cas, on ne peut pas appliquer la fonction à tous les nombres réels, car cela donne lieu à des opérations impossibles à exécuter.

Soit f la fonction telle que f\left(x\right)=\dfrac {1}{x}.

On ne peut pas diviser par 0, donc on ne peut pas calculer \dfrac{1}{0}. Le nombre 0 n'a donc pas d'image par la fonction f.

Valeur interdite

On appelle valeur interdite d'une fonction f un nombre réel dont on ne peut pas calculer l'image par f.

Dans l'exemple précédent, 0 est une valeur interdite.

Domaine de définition

Le domaine de définition (ou ensemble de définition) d'une fonction f, noté  D_f, est l'ensemble des nombres x auxquels on peut associer une image par f.

  • La fonction f d'expression  f\left(x\right)=3x^2+1 est définie sur  \mathbb{R} car on peut calculer le nombre  3x^2+1 pour tout nombre réel x.

    On écrit donc D_f=\mathbb{R}.

  • La fonction inverse qui à un nombre x associe le nombre  \dfrac{1}{x} est définie sur  \mathbb{R}\backslash \{0\} (lire « \mathbb{R}  privé de 0 »).

On note souvent  \mathbb{R}^* au lieu de \mathbb{R} \backslash \{0\}. L'étoile veut dire « privé de 0 ».

Ainsi  \mathbb{R}^*=\mathbb{R} \backslash \{0\} =\left] -\infty;0 \right[ \cup \left] 0;+\infty\right[.

De même, on note :

  • \mathbb{R}^+  pour \left[ 0;+\infty\right[, c'est-à-dire les réels positifs (0 inclus) ;

  • \mathbb{R}^-  pour \left] -\infty;0 \right], c'est-à-dire les réels négatifs (0 inclus).

 

On peut combiner ces notations : par exemple  \mathbb{R}^{+*}= \left] 0;+\infty\right[ représente l'ensemble des nombres réels positifs non nuls.

III

Courbe représentative d'une fonction

Courbe représentative

Soit f une fonction définie sur le domaine de définition D_f.

La courbe représentative, ou représentation graphique, de f, notée C_f, est l'ensemble des points \textbf{M}  de coordonnées \left(x;f\left(x\right)\right) avec x \in D_f.

On dit que la courbe C_f  a pour équation  y=f\left(x\right) , car c'est la condition que vérifient tous les points  M\left(x,y\right) de la courbe.

-
  • Si  M\left(x;y\right) est un point de la courbe représentative  C_f d'une fonction f, alors y=f\left(x\right).

  • Réciproquement, si  M\left(x;y\right) est un point du plan tel que y=f\left(x\right), alors M est un point de la courbe  C_f.

Soit f la fonction définie sur  \mathbb{R} par  f\left(x\right)=\dfrac {1}{8}x^3-x^2+6 et  C_f sa courbe représentative.

  • Le point A appartient à la courbe car :

           f\left(\textcolor{Green}{2}\right)=\dfrac {1}{8} {\textcolor{Green}{2}}^3-{\textcolor{Green}{2}}^2+6=1-4+6=\textcolor{Purple}{3}

  • L'ordonnée du point A est bien l'image par f de son abscisse.
  • Le point  B\left(\textcolor{Green}{5};\textcolor{Purple}{1}\right) n'appartient pas à la courbe car : f \left( \textcolor{Green}{5} \right) =\dfrac {1}{8}{\textcolor{Green}{5}}^3-{\textcolor{Green}{5}}^2+6=\dfrac{125}{8}-25+6=-3{,}375\neq\textcolor{Purple}{1}
    L'ordonnée de B est différente de l'image par f de son abscisse.
-
IV

Parité

Dans certains cas, la représentation graphique d'une fonction semble présenter des symétries.

L'expression de la fonction permet de préciser et démontrer ces symétries.

A

Fonction paire

Fonction paire

Une fonction est paire si et seulement si :

  • son domaine de définition  D_f est centré en 0 ;
  • pour tout x \in D_f, f\left(-x\right)=f\left(x\right).

Symétrie d'une fonction paire

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

La fonction f définie sur  \mathbb{R} d'expression  f\left(x\right)=x^2-3 est paire car :

  • son domaine de définition, \mathbb{R}, est centré en 0 ;
  • pour tout x \in \mathbb{R}, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^2-3=x^2-3=f\left(x\right).

 

On en déduit que sa courbe représentative dans un repère orthogonal est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

-
B

Fonction impaire

Fonction impaire

Une fonction est impaire si et seulement si :

  • son domaine de définition  D_f est centré en 0 ;

  • pour tout  x \in D_ff\left(-x\right)=-f\left(x\right).

Symétrie d'une fonction impaire

Dans un repère orthogonal, la courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

La fonction f définie sur  \mathbb{R} \backslash \{0\} par  f\left(x\right)= \dfrac{4}{x} est impaire car :

  • son domaine de définition,  \mathbb{R} \backslash \{0\}, est centré en 0 ;

  • pour tout x \in \mathbb{R} \backslash \{0\}, f\left(-x\right)=\dfrac{4}{-x}=-\dfrac{4}{x}=-f\left(x\right).

 

On en déduit que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'origine du repère.

-

Déterminer la parité d'une fonction avant de l'étudier permet de limiter l'étude à la moitié du domaine de définition.

On veut étudier la fonction inverse, qui à tout réel x non nul associe \dfrac{1}{x}.

Cette fonction est définie sur  \left] -\infty;0 \right[ \cup \left] 0;+\infty\right[ et elle est impaire. On peut donc limiter notre étude à l'intervalle  \left] 0;+\infty\right[ ce qui correspond à une moitié de la courbe.

Ensuite, on peut compléter la courbe par symétrie par rapport au point O, car la fonction est impaire.