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Les nombres complexes

I

Introduction

Le nombre \(\displaystyle{i}\)

\(\displaystyle{i^2=-1}\)

II

Forme algébrique

Forme algébrique

L'écriture \(\displaystyle{z = x + iy}\) avec \(\displaystyle{x\in\mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{y\in\mathbb{R}}\) est appelée forme algébrique de \(\displaystyle{z}\). Elle est unique.

Partie réelle et partie imaginaire

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\) :

  • on appelle partie réelle de \(\displaystyle{z}\), notée \(\displaystyle{\text{Re}\left(z\right)}\), le réel \(\displaystyle{x}\) ;
  • on appelle partie imaginaire de \(\displaystyle{z}\), notée \(\displaystyle{\text{Im}\left(z\right)}\), le réel \(\displaystyle{y}\).

Conjugué

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\).
On appelle conjugué de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{\overline{z}}\), le complexe :

\(\displaystyle{x - iy}\)

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z'}\) deux nombres complexes.

  • \(\displaystyle{\overline{\overline{z}} = z}\)
  • \(\displaystyle{z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)}\)
  • \(\displaystyle{z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = \overline{z}}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = - \overline{z}}\)
  • \(\displaystyle{\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}}\)
  • \(\displaystyle{\overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}}\)
  • Si \(\displaystyle{z'}\) non nul : \(\displaystyle{\overline{ \left( \dfrac{z}{z’} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}}\)
  • Pour tout entier \(\displaystyle{n}\) : \(\displaystyle{\overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}}\)
III

Module et argument

Module

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\).
On appelle module de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{|z|}\), le réel :

\(\displaystyle{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z’}\) deux nombres complexes.

  • \(\displaystyle{z \overline{z} = |z|^{2}}\)
  • \(\displaystyle{|z| = |\overline{z}|}\)
  • \(\displaystyle{|z| = |- z|}\)
  • \(\displaystyle{|zz'| = |z| \times |z'|}\)
  • Si \(\displaystyle{z'}\) non nul : \(\displaystyle{\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}}\)
  • Pour tout entier \(\displaystyle{n}\) : \(\displaystyle{|z^{n}| = |z|^{n}}\)

Argument

On appelle argument de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{\arg\left(z\right)}\) la mesure en radians de l'angle orienté \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right)}\) :

\(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]}\)

-

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z'}\) deux nombres complexes non nuls.

  • \(\displaystyle{\arg\left(zz'\right) = \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right)\left[2\pi \right]}\)
  • \(\displaystyle{\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = - \arg\left(z\right)\left[2\pi \right]}\)
  • \(\displaystyle{\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right)\left[2\pi \right]}\)
  • Pour tout entier naturel \(\displaystyle{n}\) : \(\displaystyle{\arg\left(z^{n}\right) = n \arg\left(z\right)\left[2\pi \right]}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[2\pi \right]}\) ou \(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \pi \left[2\pi \right]}\)
  • \(\displaystyle{z}\) est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]}\) ou \(\displaystyle{\arg\left(z\right) = -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]}\)

Forme trigonométrique et exponentielle

Forme trigonométrique Forme exponentielle

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z}\) non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\). On peut alors exprimer \(\displaystyle{z}\) sous sa forme trigonométrique :

\(\displaystyle{z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)}\)

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z}\) non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\). On peut alors exprimer \(\displaystyle{z}\) sous sa forme exponentielle :

\(\displaystyle{z = |z| e^{i\theta}}\)

Interprétation géométrique

Distance

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :

\(\displaystyle{AB = |z_{B} - z_{A}|}\)

Angle

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) = \arg\left(z_{B} - z_{A}\right)}\)

Argument d'un quotient (1)

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{1}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{2}}}\) deux vecteurs non nuls d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{1}}\) et \(\displaystyle{z_{2}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right)}\)

Argument d'un quotient (2)

Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\), \(\displaystyle{z_{B}}\) et \(\displaystyle{z_{C}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right)}\)

IV

Equation du second degré dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

Solutions d'une équation du second degré dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

Soit l'équation du second degré \(\displaystyle{az^2+bz+c=0}\) avec \(\displaystyle{z\in\mathbb{C}}\), \(\displaystyle{a\in\mathbb{R}^*}\), \(\displaystyle{b\in\mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{c\in\mathbb{R}}\).

\(\displaystyle{\Delta =b^2-4ac}\)

Les solutions de l'équation sont données dans le tableau suivant :

Valeur de \(\displaystyle{\Delta}\) Nombre et nature des solutions Valeur des solutions
\(\displaystyle{\Delta\gt0}\) 2 solutions réelles \(\displaystyle{z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}}\) ou \(\displaystyle{z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}}\)
\(\displaystyle{\Delta=0}\) 1 solution double réelle \(\displaystyle{z_0=\dfrac{-b}{2a}}\)
\(\displaystyle{\Delta\lt0}\) 2 solutions complexes conjuguées \(\displaystyle{z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\) ou \(\displaystyle{z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}}\)