Déterminer une mesure d'un angle à l'aide des complexesMéthode

Méthode 1

Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)

Afin de déterminer une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right), on détermine un argument de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}.

Soient les points A et B d'affixes respectives z_A = 1+i et z_B = -1+i.

Soit O l'origine du repère.

Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) +2k\pi, k\in \mathbb{Z}

On sait que :

\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right) = arg\left(\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right) +2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Etape 2

Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}

On écrit \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{-1+i-0}{1+i-0}

\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{\left(-1+i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}

\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{-1+i+i+1}{1^2+1^2}

\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{2i}{2}

Finalement :

\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = i

Etape 3

Calculer le module de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}

On calcule \left| \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right| en utilisant la forme algébrique du complexe.

On détermine le module de ce complexe :

\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| = \left| i \right|

\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| =\sqrt {0^2+1^2}

\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| =1

Etape 4

Déterminer un argument de \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} et conclure

On peut ensuite déterminer arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right). On en déduit une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right).

On pose \theta =arg\left(\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right).

On sait que :

  • \cos \theta = \dfrac{0}{1} = 0
  • \sin \theta = \dfrac{1}{1} = 1

Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :

\theta = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

Finalement :

\left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right)= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

Méthode 2

Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)

Dans le repère \left(O; \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right), afin de déterminer une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right), on détermine un argument de \left(z_B-z_A\right).

Soit le repère \left(O; \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right).

Soient les points A et B d'affixes respectives z_A = 3+5i et z_B = 5+3i.

Calculer une mesure de \left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB}\right).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) = arg\left(z_B-z_A\right) +2k\pi, k\in\mathbb{Z}

On sait que :

\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) = arg\left(z_B-z_A\right) +2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Etape 2

Calculer le complexe z_B-z_A

On écrit z_B-z_A sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

z_B-z_A = 5+3i-\left(3+5i\right)

z_B-z_A = 5+3i-3-5i

z_B-z_A = 2-2i

Etape 3

Calculer le module de z_B-z_A

On calcule \left| z_B-z_A \right| en utilisant la forme algébrique du complexe.

On en déduit que :

\left| z_B-z_A \right| = \left| 2-2i \right|

\left| z_B-z_A \right| = \sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}

\left| z_B-z_A \right| = 2\sqrt{2}

Etape 4

Déterminer un argument de z_B-z_A et conclure

On peut ensuite déterminer arg\left(z_B-z_A \right).

On en déduit une mesure de l'angle \left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right).

On pose \theta =arg\left(z_B-z_A \right).

On a :

  • \cos \theta = \dfrac{2}{2\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}
  • \sin \theta = \dfrac{-2}{2\sqrt 2} = -\dfrac{\sqrt 2}{2}

Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :

\theta =- \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

Finalement :

\left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB}\right)= -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}

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