On considère le nombre complexe suivant :
z=1+i\sqrt{3}
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=1+i\sqrt{3}. On a donc :
- Re\left(z\right)=1
- Im\left(z\right)=\sqrt{3}
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{1^2+\left(\sqrt{3}\right)^2}
\left| z \right|=\sqrt{1+3}
\left| z \right|=2
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{1}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=2e^{i\frac{\pi}{3}}
On considère le nombre complexe suivant :
z=-1-i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=-1-i. On a donc :
- Re\left(z\right)=-1
- Im\left(z\right)=-1
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-1\right)^2}
\left| z \right|=\sqrt{1+1}
\left| z \right|=\sqrt2
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{-1}{\sqrt{2}}= -\dfrac{\sqrt2}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{-1}{\sqrt2}=-\dfrac{\sqrt2}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=\sqrt2e^{i\frac{5\pi}{4}}
On considère le nombre complexe suivant :
z=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i. On a donc :
- Re\left(z\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}
- Im\left(z\right)=\dfrac{1}{2}
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}
\left| z \right|=1
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt3}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=e^{i\frac{\pi}{6}}
On considère le nombre complexe suivant :
z=\sqrt3+i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=\sqrt3+i. On a donc :
- Re\left(z\right)=\sqrt3
- Im\left(z\right)=1
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+1^2}
\left| z \right|=2
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{1}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=2e^{i\frac{\pi}{6}}
On considère le nombre complexe suivant :
z=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=\dfrac{\sqrt2}{2}-\dfrac{\sqrt2}{2}i. On a donc :
- Re\left(z\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}
- Im\left(z\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)^2}
\left| z \right|=1
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt2}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt2}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt2}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt2}{2}
On en conclut que \theta=-\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=e^{-i\frac{\pi}{4}}
On considère le nombre complexe suivant :
z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt3}{2}i. On a donc :
- Re\left(z\right)=-\dfrac{1}{2}
- Im\left(z\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}
\left| z \right|=1
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=-\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=-\dfrac{1}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt3}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=e^{i\frac{2\pi}{3}}
On considère le nombre complexe suivant :
z=-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{2}i
Quelle est la forme exponentielle de z ?
La forme exponentielle d'un complexe z est de la forme :
z=\left| z \right|e^{i\theta}
Pour mettre z sous forme exponentielle, on doit donc déterminer son module et un argument.
Module de z
D'après le cours, on sait que si z=x+iy, alors le module de z vaut :
\left| z \right|=\sqrt{x^2+y^2}
Ici, on a z=-\dfrac{\sqrt3}{2}-\dfrac{1}{2}i. On a donc :
- Re\left(z\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}
- Im\left(z\right)=-\dfrac{1}{2}
On peut donc calculer :
\left| z \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2}
\left| z \right|=1
Argument de z
On note \theta un argument de z.
On sait que :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}
Ici, on a donc :
- \cos\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt3}{2}
- \sin\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{1}=-\dfrac{1}{2}
On en conclut que \theta=\dfrac{7\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
On obtient ainsi la forme exponentielle de z :
z=e^{i\frac{7\pi}{6}}