Le conjugué d'un nombre complexe \(\displaystyle{z =a+ib}\) est \(\displaystyle{\overline{z} = a-ib}\).
Déterminer le conjugué du nombre complexe suivant :
\(\displaystyle{z = \left(3+i\right)^2}\)
Etape 1
Séparer partie réelle et partie imaginaire
Si cela n'est pas déjà fait, on simplifie l'écriture du nombre complexe z afin d'obtenir sa forme algébrique \(\displaystyle{z =a+ib}\).
On peut ainsi facilement isoler la partie réelle et la partie imaginaire de z, on obtient :
- \(\displaystyle{Re\left(z\right) = a}\), avec \(\displaystyle{a\in\mathbb{R}}\)
- \(\displaystyle{Im\left(z\right) = b}\), avec \(\displaystyle{b\in\mathbb{R}}\)
On développe l'expression de z afin de l'écrire sous sa forme algébrique :
\(\displaystyle{z=\left(3+i\right)^2}\)
\(\displaystyle{z=9+6i + i^2}\)
D'où :
\(\displaystyle{z=9+6i -1}\)
Finalement :
\(\displaystyle{z=8+6i }\)