Montrer que deux droites sont parallèlesMéthode

Méthode 1

En utilisant les arguments

On peut démontrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles en utilisant les arguments.

Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :

z_A = 1+2i, z_B= 4+3i, z_C = 8-i, z_D = 2-3i

Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Les deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \left(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CD}\right)=k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Etape 2

Expliciter la condition

On a :

\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)

On en déduit que deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) = k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Finalement, on en conclut que \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} est un réel.

Or, on sait que :

\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}\right)= arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)

Donc les deux droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi, k\in\mathbb{Z}, c'est-à-dire si et seulement si \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}.

Etape 3

Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}

On calcule le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}.

On a :

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{2-3i-\left(8-i\right)}{4+3i-\left(1+2i\right)}

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-6-2i}{3+i}

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{\left(-6-2i\right)\left(3-i\right)}{3^2+1^2}

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-18+6i-6i+2i^2}{3^2+1^2}

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{-20}{10}

Finalement :

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} =-2

Etape 4

Conclure

Si le nombre complexe obtenu est réel, on conclut au parallélisme des deux droites.

On a bien :

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\in\mathbb{R}

Ainsi :

arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) =k\pi, k\in\mathbb{Z}

On en conclut que les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Méthode 2

En montrant que les deux vecteurs sont colinéaires

Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Soient les points A, B, C et D d'affixes respectives :

z_A = -3-i, z_B= 4+3i, z_C = 3+3i, z_D = -11-5i

Déterminer si les droites (AB) et (CD) sont parallèles.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

\left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles si et seulement si \overrightarrow{AB}=k \overrightarrow{CD}, avec k \in \mathbb{R}, c'est-à-dire si et seulement si z_{\overrightarrow{AB}}=k z_{\overrightarrow{CD}}, avec k \in \mathbb{R}.

Etape 2

Calculer les coordonnées des vecteurs

On calcule les affixes de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD}.

On a :

  • z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A=4+3i-\left(-3-i\right)=4+3+3i+i=7+4i
  • z_{\overrightarrow{CD}}=z_D-z_C=-11-5i-\left(3+3i\right)=-11-3-5i-3i=-14-8i
Etape 3

Conclure

On montre que \overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{CD}. On conclut quant à la colinéarité des deux vecteurs et donc au parallélisme des deux droites.

On remarque que z_{\overrightarrow{CD}}=-2z_{\overrightarrow{AB}}.

On a donc \overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AB}. On en déduit que les vecteurs \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{CD} sont colinéaires.

Ainsi, les droites \left(AB\right) et \left(CD\right) sont parallèles.