Retrouver une forme trigonométrique ou exponentielle Exercice

z=-\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)-isin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)

z=-\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

z=-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}

\left| z \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}

\left| z \right|=\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}}

\left| z \right|=\sqrt{\dfrac{4}{4}}

\left| z \right|=1

On note \theta un argument de z.

On sait que :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{1}{2}}{1}=-\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On en conclut que \theta=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

z=-\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+isin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)

z=-\dfrac{\sqrt2}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}

z=-\dfrac{\sqrt2}{2}-i\dfrac{\sqrt{2}}{2}

\left| z \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}

\left| z \right|=\sqrt{\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}}

\left| z \right|=\sqrt{\dfrac{4}{4}}

\left| z \right|=1

On note \theta un argument de z.

On sait que :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}

On en conclut que \theta=\dfrac{5\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

z=\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)-isin\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)

z=i

z=i

\left| z \right|=\sqrt{0^2+1^2}

\left| z \right|=1

On note \theta un argument de z.

On sait que :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{0}{1}=0
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{1}{1}=1

On en conclut que \theta=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

z=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

z=-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}

z=-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}

\left| z \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}

\left| z \right|=1

On note \theta un argument de z.

On sait que :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=-\dfrac{\sqrt3}{2}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}

On en conclut que \theta=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

z=-\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)-isin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)

z=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

Et là on a déjà une forme trigonométrique, la suite ne sert pas vraiment

z=-\dfrac{\sqrt3}{2}+i\dfrac{1}{2}

\left| z \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{\sqrt3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2}

\left| z \right|=1

On note \theta un argument de z.

On sait que :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}}{1}=\dfrac{\sqrt3}{2}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{1}=\dfrac{1}{2}

On en conclut que \theta=\dfrac{\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

z=-3\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+isin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)

z=-3\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)-3isin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)

z=-3\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+3isin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

z=-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{3\sqrt3}{2}

z=-\dfrac{3}{2}+i\dfrac{3\sqrt3}{2}

\left| z \right|=\sqrt{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt3}{2}\right)^2}

\left| z \right|=\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{27}{4}}

\left| z \right|=\sqrt{\dfrac{36}{4}}

\left| z \right|={\dfrac{6}{2}}

\left| z \right|=3

On note \theta un argument de z.

On sait que :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{-\dfrac{3}{2}}{3}=-\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{\dfrac{3\sqrt3}{2}}{3}=\dfrac{\sqrt3}{2}

On en conclut que \theta=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

z=-4\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+isin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)

z=-4\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)-4isin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)

z=-4\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+4isin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)

z=-4\times\dfrac{\sqrt3}{2}+4\times i\dfrac{1}{2}

z=-2\sqrt3+2i

z=-2\sqrt3+2i

\left| z \right|=\sqrt{\left(-2\sqrt3\right)^2+2^2}

\left| z \right|=\sqrt{12+4}

\left| z \right|=\sqrt{16}

\left| z \right|=4

On note \theta un argument de z.

On sait que :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Ici, on a donc :

• \cos\left(\theta\right)=\dfrac{-2\sqrt3}{4}=-\dfrac{\sqrt3}{2}
• \sin\left(\theta\right)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}

On en conclut que \theta=\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}