Résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans CMéthode

On peut résoudre dans \mathbb{C} une équation du second degré à coefficients réels ax^2+bx+c= 0 dont le discriminant est négatif.

Résoudre l'équation suivante dans \mathbb{C} :

z^2-2z+2=0

Etape 1

Calculer le discriminant \Delta

On calcule le discriminant :

\Delta = b^2-4ac

On calcule le discriminant :

\Delta = b^2-4ac

\Delta = \left(-2\right)^2-4\times 1 \times 2

\Delta = -4

Etape 2

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que :

  • si \Delta \gt 0 , l'équation admet deux solutions réelles distinctes x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
  • Si \Delta = 0 , l'équation admet une solution réelle x_0 = \dfrac{-b}{2a}.
  • Si \Delta \lt 0, l'équation admet deux solutions complexes conjuguées z_1 = \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} et z_2 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.

\Delta \lt 0, l'équation admet donc deux solutions complexes conjuguées :

  • z_1 = \dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}
  • z_2 =\overline{z_1}= \dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}
Etape 3

Calculer les solutions

On calcule les solutions de l'équation.

On calcule les solutions :

  • z_1 = \dfrac{2+i\sqrt{4}}{2}=1+i
  • z_2 =\overline{z_1}=1-i

On conclut que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S=\left\{ 1-i;1+i \right\}