Calculer le module et un argument d'un nombre complexe Méthode

Sommaire

1Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right) 2Calculer le module 3Écrire les égalités sur cos et sin 4Déterminer un argument

Afin de calculer le module \left| z \right| et un argument \theta d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib. On applique ensuite les formules du cours.

Déterminer le module et un argument du nombre complexe z suivant :

z = \sqrt 3 +3i

Etape 1

Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right)

Si cela n'est pas déjà fait, on simplifie l'écriture du nombre complexe z afin d'obtenir sa forme algébrique z =a+ib, avec a et b deux réels.

On peut ainsi facilement isoler la partie réelle et la partie imaginaire de z, on obtient :

  • Re\left(z\right) = a
  • Im\left(z\right) = b

z est déjà écrit sous forme algébrique.

On a :

  • Re\left(z\right) = \sqrt3
  • Im\left(z\right) = 3
Etape 2

Calculer le module

On rappelle que le module d'un nombre complexe z =a+ib est :

\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}

On calcule le module et on simplifie son expression si possible.

On sait que, pour tout nombre complexe z= a+ib :

\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}

Ici, on obtient :

\left| z \right| = \sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+3^2}

\left| z \right| = \sqrt{ 3+9}

\left| z \right| = \sqrt{12}

Finalement :

\left| z \right| = 2\sqrt{ 3}

Etape 3

Écrire les égalités sur cos et sin

On rappelle qu'un argument \theta d'un nombre complexe z vérifie :

  • \cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
  • \sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

On écrit ces égalités pour le complexe recherché.

Soit \theta un argument de z. On sait que :

  • \cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
  • \sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Donc, ici :

  • \cos\left(\theta\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2\sqrt 3}=\dfrac{1}{2}
  • \sin\left(\theta\right) = \dfrac{3}{2\sqrt 3} =\dfrac{\sqrt 3}{2}
Etape 4

Déterminer un argument

À l'aide d'un cercle trigonométrique, on détermine la valeur de \theta appartenant à \left] -\pi ; \pi \right] qui correspond aux valeurs précédentes de \cos\left(\theta\right) et \sin\left(\theta\right).

-

À l'aide du cercle trigonométrique, on en conclut que :

\theta = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}

On ne peut pas déterminer un argument d'un nombre complexe z donné sous forme algébrique sans avoir préalablement calculé le module de celui-ci.