Calculer le module et un argument d'un nombre complexeMéthode

Afin de calculer le module \left| z \right| et un argument \theta d'un nombre complexe z, on détermine sa forme algébrique z = a+ib. On applique ensuite les formules du cours.

Déterminer le module et un argument du nombre complexe z suivant :

z = \sqrt 3 +3i

Etape 1

Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right)

Si cela n'est pas déjà fait, on simplifie l'écriture du nombre complexe z afin d'obtenir sa forme algébrique z =a+ib, avec a et b deux réels.

On peut ainsi facilement isoler la partie réelle et la partie imaginaire de z, on obtient :

  • Re\left(z\right) = a
  • Im\left(z\right) = b

z est déjà écrit sous forme algébrique.

On a :

  • Re\left(z\right) = \sqrt3
  • Im\left(z\right) = 3
Etape 2

Calculer le module

On rappelle que le module d'un nombre complexe z =a+ib est :

\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}

On calcule le module et on simplifie son expression si possible.

On sait que, pour tout nombre complexe z= a+ib :

\left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}

Ici, on obtient :

\left| z \right| = \sqrt{\left(\sqrt3\right)^2+3^2}

\left| z \right| = \sqrt{ 3+9}

\left| z \right| = \sqrt{12}

Finalement :

\left| z \right| = 2\sqrt{ 3}

Etape 3

Écrire les égalités sur cos et sin

On rappelle qu'un argument \theta d'un nombre complexe z vérifie :

  • \cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
  • \sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

On écrit ces égalités pour le complexe recherché.

Soit \theta un argument de z. On sait que :

  • \cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}
  • \sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}

Donc, ici :

  • \cos\left(\theta\right) = \dfrac{\sqrt 3}{2\sqrt 3}=\dfrac{1}{2}
  • \sin\left(\theta\right) = \dfrac{3}{2\sqrt 3} =\dfrac{\sqrt 3}{2}
Etape 4

Déterminer un argument

À l'aide d'un cercle trigonométrique, on détermine la valeur de \theta appartenant à \left] -\pi ; \pi \right] qui correspond aux valeurs précédentes de \cos\left(\theta\right) et \sin\left(\theta\right).

-

À l'aide du cercle trigonométrique, on en conclut que :

\theta = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}

On ne peut pas déterminer un argument d'un nombre complexe z donné sous forme algébrique sans avoir préalablement calculé le module de celui-ci.