Isoler la partie réelle et la partie imaginaire d'un nombre complexe exprimé en fonction d'un autre Exercice

Z=\dfrac{z+1}{z-i}

On a z=x+iy

On obtient donc :

Z=\dfrac{x+iy+1}{x+iy-i}

Z=\dfrac{x+iy+1}{x+i\left(y-1\right)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

Z=\dfrac{\left(x+iy+1\right)\left(x-i\left(y-1\right)\right)}{\left(x+i\left(y-1\right)\right)\left(x-i\left(y-1\right)\right)}

Et comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on a :

Z=\dfrac{\left(x+iy+1\right)\left(x-i\left(y-1\right)\right)}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{\left(x+iy+1\right)\left(x-iy+i\right)}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{x^2-ixy+ix+ixy-i^2y^2+i^2y+x-iy+i}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{x^2+ix+y^2-y+x-iy+i}{x^2+\left(y-1\right)^2}

On isole la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique de Z :

Z=\dfrac{x^2+y^2+x-y+i\left(1+x-y\right)}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{x^2+y^2+x-y}{x^2+\left(y-1\right)^2}+i\dfrac{1+x-y}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{z-2}{z+i}

On a z=x+iy

On obtient donc :

Z=\dfrac{x+iy-2}{x+iy+i}

Z=\dfrac{x+iy-2}{x+i\left(y+1\right)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

Z=\dfrac{\left(x+iy-2\right)\left(x-i\left(y+1\right)\right)}{\left(x+i\left(y+1\right)\right)\left(x-i\left(y+1\right)\right)}

Et comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on a :

Z=\dfrac{\left(x+iy-2\right)\left(x-i\left(y+1\right)\right)}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Z=\dfrac{\left(x+iy-2\right)\left(x-iy-i\right)}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Z=\dfrac{x^2-ixy-ix+ixy-i^2y^2-i^2y-2x+2iy+2i}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Z=\dfrac{x^2-ix+y^2+y-2x+2iy+2i}{x^2+\left(y+1\right)^2}

On isole la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique de Z :

Z=\dfrac{x^2+y^2+y-2x+i\left(2-x+2y\right)}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Z=\dfrac{x^2+y^2+y-2x}{x^2+\left(y+1\right)^2}+i\dfrac{2-x+2y}{x^2+\left(y+1\right)^2}

Z=\dfrac{z+2}{z-3i}

On a z=x+iy

On obtient donc :

Z=\dfrac{x+iy+2}{x+iy-3i}

Z=\dfrac{x+iy+2}{x+i\left(y-3\right)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

Z=\dfrac{\left(x+iy+2\right)\left(x-i\left(y-3\right)\right)}{\left(x+i\left(y-3\right)\right)\left(x-i\left(y-3\right)\right)}

Et comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on a :

Z=\dfrac{\left(x+iy+2\right)\left(x-i\left(y-3\right)\right)}{x^2+\left(y-3\right)^2}

Z=\dfrac{\left(x+iy+2\right)\left(x-iy+3i\right)}{x^2+\left(y-3\right)^2}

Z=\dfrac{x^2-ixy+3ix+ixy-i^2y^2+3i^2y+2x-2iy+6i}{x^2+\left(y-3\right)^2}

Z=\dfrac{x^2-ixy+3ix+ixy+y^2-3y+2x-2iy+6i}{x^2+\left(y-3\right)^2}

On isole la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique de Z :

Z=\dfrac{x^2+y^2+2x-3y+i\left(6+3x-2y\right)}{x^2+\left(y-3\right)^2}

Z=\dfrac{x^2+y^2+2x-3y}{x^2+\left(y-3\right)^2}+i\dfrac{6+3x-2y}{x^2+\left(y-3\right)^2}

Z=\dfrac{z-4}{z-2i}

On a z=x+iy

On obtient donc :

Z=\dfrac{x+iy-4}{x+iy-2i}

Z=\dfrac{x+iy-4}{x+i\left(y-2\right)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

Z=\dfrac{\left(x+iy-4\right)\left(x-i\left(y-2\right)\right)}{x+i\left(y-2\right)\left(x-i\left(y-2\right)\right)}

Et comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on a :

Z=\dfrac{\left(x+iy-4\right)\left(x-i\left(y-2\right)\right)}{x^2+\left(y-2\right)^2}

Z=\dfrac{\left(x+iy-4\right)\left(x-iy+2i\right)}{x^2+\left(y-2\right)^2}

Z=\dfrac{x^2-ixy+2ix+ixy-i^2y^2+2i^2y-4x+4iy-8i}{x^2+\left(y-2\right)^2}

Z=\dfrac{x^2-ixy+2ix+ixy+y^2-2y-4x+4iy-8i}{x^2+\left(y-2\right)^2}

On isole la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique de Z :

Z=\dfrac{x^2+y^2-4x-2y+i\left(-8+2x+4y\right)}{x^2+\left(y-2\right)^2}

Z=\dfrac{x^2+y^2-4x-2y}{x^2+\left(y-2\right)^2}+i\dfrac{-8+2x+4y}{x^2+\left(y-2\right)^2}

Z=\dfrac{2z-1}{z+2i}

On a z=x+iy

On obtient donc :

Z=\dfrac{2x+2iy-1}{x+iy+2i}

Z=\dfrac{2x+2iy-1}{x+i\left(y+2\right)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

Z=\dfrac{\left(2x+2iy-1\right)\left(x-i\left(y+2\right)\right)}{\left(x+i\left(y+2\right)\right)\left(x-i\left(y+2\right)\right)}

Et comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on a :

Z=\dfrac{\left(2x+2iy-1\right)\left(x-i\left(y+2\right)\right)}{x^2+\left(y+2\right)^2}

Z=\dfrac{\left(2x+2iy-1\right)\left(x-iy-2i\right)}{x^2+\left(y+2\right)^2}

Z=\dfrac{2x^2-2ixy-4ix+2ixy-2i^2y^2-4i^2y-x+iy+2i}{x^2+\left(y+2\right)^2}

Z=\dfrac{2x^2-2ixy-4ix+2ixy+2y^2+4y-x+iy+2i}{x^2+\left(y+2\right)^2}

On isole la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique de Z :

Z=\dfrac{2x^2+2y^2-x+4y+i\left(2-4x+y\right)}{x^2+\left(y+2\right)^2}

Z=\dfrac{2x^2+2y^2-x+4y}{x^2+\left(y+2\right)^2}+i\dfrac{2-4x+y}{x^2+\left(y+2\right)^2}

Z=\dfrac{3z-2}{z-i}

On a z=x+iy

On obtient donc :

Z=\dfrac{3x+3iy-2}{x+iy-i}

Z=\dfrac{3x+3iy-2}{x+i\left(y-1\right)}

On multiplie le numérateur et le dénominateur par le complexe conjugué du dénominateur :

Z=\dfrac{\left(3x+3iy-2\right)\left(x-i\left(y-1\right)\right)}{\left(x+i\left(y-1\right)\right)\left(x-i\left(y-1\right)\right)}

Et comme \left(a+ib\right)\left(a-ib\right)=a^2+b^2, on a :

Z=\dfrac{\left(3x+3iy-2\right)\left(x-i\left(y-1\right)\right)}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{\left(3x+3iy-2\right)\left(x-iy+i\right)}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{3x^2-3ixy+3ix+3ixy-3i^2y^2+3i^2y-2x+2iy-2i}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{3x^2-3ixy+3ix+3ixy+3y^2-3y-2x+2iy-2i}{x^2+\left(y-1\right)^2}

On isole la partie réelle et la partie imaginaire pour obtenir la forme algébrique de Z :

Z=\dfrac{3x^2+3y^2-2x-3y+i\left(-2+3x+2y\right)}{x^2+\left(y-1\right)^2}

Z=\dfrac{3x^2+3y^2-2x-3y}{x^2+\left(y-1\right)^2}+i\dfrac{-2+3x+2y}{x^2+\left(y-1\right)^2}