Déterminer un ensemble de points par le calculMéthode

Afin de déterminer par le calcul un ensemble E de points M d'affixe z, on pose z=x+iy (avec x et y deux réels) et on résout l'équation.

Déterminer par le calcul l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\left| z-3 \right|=7

Etape 1

Ecrire la condition d'appartenance

On écrit la condition d'appartenance à l'ensemble E en remplaçant z par son écriture algébrique x+iy, avec x et y deux réels.

On pose z =x+iy, avec x et y deux réels.

L'équation devient :

\left| x+iy -3 \right| =7

Etape 2

Résoudre l'équation

Plusieurs cas peuvent se présenter :

Soit on peut directement résoudre l'équation et on obtient les coordonnées d'un point.

Soit on simplifie l'expression afin de reconnaître le type d'équation obtenu :

  • Une équation de cercle sous la forme : \left(x-a\right)^2 +\left(y-b\right) ^2 = r^2
  • Une équation de droite sous la forme : ax +by +c = 0

Pour tous réels x et y :

\left| x+iy -3 \right| =7

\Leftrightarrow\sqrt {\left(x-3\right)^2+y^2}=7

\Leftrightarrow\left(x-3\right)^2+y^2=7^2

On reconnaît une équation du cercle de centre A d'affixe z_A=3 et de rayon r=7.

Etape 3

Conclure

On conclut sur l'ensemble des points M.

L'ensemble des points M est donc le cercle de centre A d'affixe z_A=3 et de rayon r=7.