Déterminer un ensemble de points géométriquement Méthode

Sommaire

Méthode 1Avec une équation de la forme \left| z-z_A \right|=k 1Poser le point nécessaire 2Donner la condition en termes de distance 3ConclureMéthode 2Avec une équation de la forme \left| z-z_A \right|=\left| z-z_B \right| 1Poser les points nécessaires 2Donner la condition en termes de distance 3ConclureMéthode 3Avec un ensemble de points défini par un argument 1Créer le ou les point(s) nécessaire(s) 2Donner la condition en termes d'angle 3Conclure
Méthode 1

Avec une équation de la forme \left| z-z_A \right|=k

L'ensemble des points M d'affixe z tels que \left| z+a+ib \right|= k,avec k \in\mathbb{R} et a et b deux réels, est le cercle de centre A d'affixe z_A = -a-ib et de rayon k.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\left| z-2+i \right|=5

Etape 1

Poser le point nécessaire

On pose le point A d'affixe z_A afin de se ramener à une équation de la forme \left| z-z_A \right| = k.

On pose le point A d'affixe z_A = 2-i.

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

\left| z-2+i \right|=5 \Leftrightarrow \left|z-\left(2-i\right)\right|=5\Leftrightarrow \left| z-z_A\right|=5

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

\left| z-z_A \right|=AM

On en déduit que :

\left| z-z_A \right|= k \Leftrightarrow AM=k

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

\forall z\in\mathbb{C}, \left| z-z_A \right| =5 \Leftrightarrow AM= 5

Etape 3

Conclure

L'ensemble des points M est donc l'ensemble des points situés à une distance k du point A.

On en conclut que l'ensemble des points M est le cercle de centre A\left(z_A\right) et de rayon k.

Ainsi, l'ensemble des points M est le cercle de centre A d'affixe z_A = 2-i et de rayon 5.

Méthode 2

Avec une équation de la forme \left| z-z_A \right|=\left| z-z_B \right|

L'ensemble des points M d'affixe z tels que \left| z+a+ib\right|= \left| z+c+id \right|, tels que a, b, c et d soient des réels, est la médiatrice de [AB] avec A le point d'affixe z_A=-a-ib et B le point d'affixe z_B = -c-id.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\left| z+3-2i \right|=\left| z-4i \right|

Etape 1

Poser les points nécessaires

On pose les points A d'affixe z_A = -a-ib et B d'affixe z_B = -c-id afin de se ramener à une équation de la forme \left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right| .

On pose les points A d'affixe z_A = -3+2i et B d'affixe z_B = 4i.

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

\left| z+3-2i \right|=\left| z-4i \right| \Leftrightarrow\left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right|

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

  • \left| z-z_A \right|=AM
  • \left| z-z_B \right|=BM

On en déduit que \left| z-z_A \right|= \left| z-z_B \right| \Leftrightarrow AM=BM.

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

\forall z\in\mathbb{C}, \left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right| \Leftrightarrow AM = BM

Etape 3

Conclure

Par conséquent, il s'agit des points M situés à égale distance des points A et B.

On en conclut que l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixes z_A et z_B.

Ainsi, l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixe z_A = -3+2i et z_B = 4i.

Méthode 3

Avec un ensemble de points défini par un argument

L'ensemble des points M d'affixe z tels que arg \left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha + k2\pi, avec \alpha la mesure d'un angle et les points A, B et C les points d'affixes z_A, z_B et z_C, est la droite privée de A telle que \left(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AM}\right) = \alpha + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}.

On considère le point B d'affixe z_B = 1+i.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

arg\left(\dfrac{z-2-4i}{z_B-2-4i}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Etape 1

Créer le ou les point(s) nécessaire(s)

On crée si nécessaire les points A, B et C d'affixe z_A, z_B et z_C afin de se ramener à une condition de la forme arg \left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha + k2\pi.

On pose le point A d'affixe z_A = 2+4i.

On en déduit que :

arg\left(\dfrac{z-2-4i}{z_B-2-4i}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \Leftrightarrow arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi

Etape 2

Donner la condition en termes d'angle

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AM}\right)\left[2\pi\right]

On en déduit que arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha+ k2\pi \Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AM}\right) = \alpha+ k2\pi

En exprimant la condition en termes d'angle, on obtient :

arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{4} \left[2\pi\right] \Leftrightarrow \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}\right) = \dfrac{\pi}{4}\left[2\pi\right]

Etape 3

Conclure

On en conclut que l'ensemble des points M est la demi-droite passant par A privée de A formant un angle de mesure \alpha avec la droite (BC).

On conclut que l'ensemble des points M est la demi-droite passant par A privée de A formant un angle de mesure \dfrac{\pi}{4} avec la droite \left(AB\right).

  • Si le complexe Z doit être un réel, cela implique que arg\left(Z\right) = 0+ k\pi et donc des points alignés ou des droites parallèles.
  • Si le complexe Z doit être un imaginaire pur, cela implique que arg\left(Z\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi et donc des droites perpendiculaires.