Déterminer un ensemble de points géométriquementMéthode

Méthode 1

Avec une équation de la forme \left| z-z_A \right|=k

L'ensemble des points M d'affixe z tels que \left| z+a+ib \right|= k,avec k \in\mathbb{R} et a et b deux réels, est le cercle de centre A d'affixe z_A = -a-ib et de rayon k.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\left| z-2+i \right|=5

Etape 1

Poser le point nécessaire

On pose le point A d'affixe z_A afin de se ramener à une équation de la forme \left| z-z_A \right| = k.

On pose le point A d'affixe z_A = 2-i.

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

\left| z-2+i \right|=5 \Leftrightarrow \left|z-\left(2-i\right)\right|=5\Leftrightarrow \left| z-z_A\right|=5

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

\left| z-z_A \right|=AM

On en déduit que :

\left| z-z_A \right|= k \Leftrightarrow AM=k

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

\forall z\in\mathbb{C}, \left| z-z_A \right| =5 \Leftrightarrow AM= 5

Etape 3

Conclure

L'ensemble des points M est donc l'ensemble des points situés à une distance k du point A.

On en conclut que l'ensemble des points M est le cercle de centre A\left(z_A\right) et de rayon k.

Ainsi, l'ensemble des points M est le cercle de centre A d'affixe z_A = 2-i et de rayon 5.

Méthode 2

Avec une équation de la forme \left| z-z_A \right|=\left| z-z_B \right|

L'ensemble des points M d'affixe z tels que \left| z+a+ib\right|= \left| z+c+id \right|, tels que a, b, c et d soient des réels, est la médiatrice de [AB] avec A le point d'affixe z_A=-a-ib et B le point d'affixe z_B = -c-id.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

\left| z+3-2i \right|=\left| z-4i \right|

Etape 1

Poser les points nécessaires

On pose les points A d'affixe z_A = -a-ib et B d'affixe z_B = -c-id afin de se ramener à une équation de la forme \left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right| .

On pose les points A d'affixe z_A = -3+2i et B d'affixe z_B = 4i.

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

\left| z+3-2i \right|=\left| z-4i \right| \Leftrightarrow\left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right|

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

  • \left| z-z_A \right|=AM
  • \left| z-z_B \right|=BM

On en déduit que \left| z-z_A \right|= \left| z-z_B \right| \Leftrightarrow AM=BM.

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

\forall z\in\mathbb{C}, \left| z-z_A \right| = \left| z-z_B \right| \Leftrightarrow AM = BM

Etape 3

Conclure

Par conséquent, il s'agit des points M situés à égale distance des points A et B.

On en conclut que l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixes z_A et z_B.

Ainsi, l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixe z_A = -3+2i et z_B = 4i.

Méthode 3

Avec un ensemble de points défini par un argument

L'ensemble des points M d'affixe z tels que arg \left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha + k2\pi, avec \alpha la mesure d'un angle et les points A, B et C les points d'affixes z_A, z_B et z_C, est la droite privée de A telle que \left(\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{AM}\right) = \alpha + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}.

On considère le point B d'affixe z_B = 1+i.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

arg\left(\dfrac{z-2-4i}{z_B-2-4i}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Etape 1

Créer le ou les point(s) nécessaire(s)

On crée si nécessaire les points A, B et C d'affixe z_A, z_B et z_C afin de se ramener à une condition de la forme arg \left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha + k2\pi.

On pose le point A d'affixe z_A = 2+4i.

On en déduit que :

arg\left(\dfrac{z-2-4i}{z_B-2-4i}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \Leftrightarrow arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi

Etape 2

Donner la condition en termes d'angle

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AM}\right)\left[2\pi\right]

On en déduit que arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_C-z_B}\right) = \alpha+ k2\pi \Leftrightarrow\left(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{AM}\right) = \alpha+ k2\pi

En exprimant la condition en termes d'angle, on obtient :

arg\left(\dfrac{z-z_A}{z_B-z_A}\right) = \dfrac{\pi}{4} \left[2\pi\right] \Leftrightarrow \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM}\right) = \dfrac{\pi}{4}\left[2\pi\right]

Etape 3

Conclure

On en conclut que l'ensemble des points M est la demi-droite passant par A privée de A formant un angle de mesure \alpha avec la droite (BC).

On conclut que l'ensemble des points M est la demi-droite passant par A privée de A formant un angle de mesure \dfrac{\pi}{4} avec la droite \left(AB\right).

  • Si le complexe Z doit être un réel, cela implique que arg\left(Z\right) = 0+ k\pi et donc des points alignés ou des droites parallèles.
  • Si le complexe Z doit être un imaginaire pur, cela implique que arg\left(Z\right) = \dfrac{\pi}{2} + k\pi et donc des droites perpendiculaires.