Sommaire
Méthode 1Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle 1Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right) 2Calculer le module de z 3Déterminer un argument de z 4Donner la forme voulue de zMéthode 2Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique 1Identifier le module et un argument de z 2Calculer a et b 3Conclure Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable.
Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle
Afin de déterminer une forme exponentielle ou une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique z=a+ib, on doit calculer le module et un argument de z.
On considère le nombre complexe suivant :
z =1-i
Ecrire z sous forme trigonométrique.
Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right)
On écrit z sous sa forme algébrique z =a+ib. On identifie :
- a = Re\left(z\right)
- b = Im\left(z\right)
Ici, on a :
z=1-i
On en déduit que :
- Re\left(z\right) = 1
- Im\left(z\right) =-1
Calculer le module de z
On a \left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}. On calcule et on simplifie le module.
On a donc :
\left| z \right| = \sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}
\left| z \right| = \sqrt{2}
Déterminer un argument de z
Soit \theta, un argument de z. On sait que :
- \cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}
- sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}
On s'aide alors du cercle trigonométrique ainsi que des cos et sin des angles classiques pour déterminer une valeur de \theta.
Soit \theta, un argument de z.
On sait que :
- \cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}
- sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}
Donc, ici :
- \cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt2}= \dfrac{\sqrt2}{2}
- sin\theta = \dfrac{-1}{\sqrt2}= -\dfrac{\sqrt2}{2}
À l'aide du cercle trigonométriques et des valeurs de cos et sin des angles classiques, on obtient :
\theta = -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Donner la forme voulue de z
- Une forme trigonométrique de z est z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right).
- Une forme exponentielle de z est z = \left| z \right|e^{i\theta}.
On en déduit que :
z = \sqrt 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i\;\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)
Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique
Si un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right) ou sous forme exponentielle z = \left| z \right|e^{i\theta}, on peut retrouver sa forme algébrique.
On considère le nombre complexe suivant :
z = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}
Déterminer la forme algébrique de z.
Identifier le module et un argument de z
Selon la forme donnée en énoncé, on a au choix :
- z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)
- z = \left| z \right|e^{i\theta}
On identifie le module \left| z \right| de z et un argument \theta de z.
Ici, on a
- \left| z \right| = 2
- \theta = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Calculer a et b
On rappelle que :
- a = \left| z \right| \cos \theta
- b = \left| z \right| \sin \theta
On calcule \cos \theta et \sin \theta afin de déterminer a et b.
On sait que :
- a = \left| z \right| \cos \theta
- b = \left| z \right| \sin \theta
Donc, ici :
a =2 \cos \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)
a =2 \cos \left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)
a =2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1
Et :
b =2 \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)
b =2 \sin\left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)
b =2 \times \left(-\dfrac{\sqrt 3}{2}\right) = -\sqrt 3
Conclure
On en conclut la forme algébrique de z qui est de la forme z=a+ib.
La forme algébrique de z est donc :
z =-1-i\sqrt 3
L'écriture des formes exponentielle et trigonométrique nécessite uniquement la connaissance du module et d'un argument de z. On peut donc très simplement passer de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, et inversement.
Si une forme exponentielle de z est :
z=3e^{i\frac{\pi}{3}}
Alors une forme trigonométrique de z est :
z=3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)