Passer d'une forme à l'autre dans les complexesMéthode

Méthode 1

Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle

Afin de déterminer une forme exponentielle ou une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique z=a+ib, on doit calculer le module et un argument de z.

On considère le nombre complexe suivant :

z =1-i

Ecrire z sous forme trigonométrique.

Etape 1

Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right)

On écrit z sous sa forme algébrique z =a+ib. On identifie :

  • a = Re\left(z\right)
  • b = Im\left(z\right)

Ici, on a :

z=1-i

On en déduit que :

  • Re\left(z\right) = 1
  • Im\left(z\right) =-1
Etape 2

Calculer le module de z

On a \left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}. On calcule et on simplifie le module.

On a donc :

\left| z \right| = \sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}

\left| z \right| = \sqrt{2}

Etape 3

Déterminer un argument de z

Soit \theta, un argument de z. On sait que :

  • \cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}
  • sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}

On s'aide alors du cercle trigonométrique ainsi que des cos et sin des angles classiques pour déterminer une valeur de \theta.

Soit \theta, un argument de z.

On sait que :

  • \cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}
  • sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}

Donc, ici :

  • \cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt2}= \dfrac{\sqrt2}{2}
  • sin\theta = \dfrac{-1}{\sqrt2}= -\dfrac{\sqrt2}{2}

À l'aide du cercle trigonométriques et des valeurs de cos et sin des angles classiques, on obtient :

\theta = -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Etape 4

Donner la forme voulue de z

  • Une forme trigonométrique de z est z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right).
  • Une forme exponentielle de z est z = \left| z \right|e^{i\theta}.

On en déduit que :

z = \sqrt 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i\;\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)

Méthode 2

Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique

Si un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right) ou sous forme exponentielle z = \left| z \right|e^{i\theta}, on peut retrouver sa forme algébrique.

On considère le nombre complexe suivant :

z = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}

Déterminer la forme algébrique de z.

Etape 1

Identifier le module et un argument de z

Selon la forme donnée en énoncé, on a au choix :

  • z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)
  • z = \left| z \right|e^{i\theta}

On identifie le module \left| z \right| de z et un argument \theta de z.

Ici, on a

  • \left| z \right| = 2
  • \theta = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Etape 2

Calculer a et b

On rappelle que :

  • a = \left| z \right| \cos \theta
  • b = \left| z \right| \sin \theta

On calcule \cos \theta et \sin \theta afin de déterminer a et b.

On sait que :

  • a = \left| z \right| \cos \theta
  • b = \left| z \right| \sin \theta

Donc, ici :

a =2 \cos \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)

a =2 \cos \left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)

a =2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1

Et :

b =2 \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)

b =2 \sin\left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)

b =2 \times \left(-\dfrac{\sqrt 3}{2}\right) = -\sqrt 3

Etape 3

Conclure

On en conclut la forme algébrique de z qui est de la forme z=a+ib.

La forme algébrique de z est donc :

z =-1-i\sqrt 3

L'écriture des formes exponentielle et trigonométrique nécessite uniquement la connaissance du module et d'un argument de z. On peut donc très simplement passer de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, et inversement.

Si une forme exponentielle de z est :

z=3e^{i\frac{\pi}{3}}

Alors une forme trigonométrique de z est :

z=3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule