Passer d'une forme à l'autre dans les complexes Méthode

Sommaire

Méthode 1Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle 1Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right) 2Calculer le module de z 3Déterminer un argument de z 4Donner la forme voulue de zMéthode 2Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique 1Identifier le module et un argument de z 2Calculer a et b 3Conclure
Méthode 1

Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle

Afin de déterminer une forme exponentielle ou une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique z=a+ib, on doit calculer le module et un argument de z.

On considère le nombre complexe suivant :

z =1-i

Ecrire z sous forme trigonométrique.

Etape 1

Identifier Re\left(z\right) et Im\left(z\right)

On écrit z sous sa forme algébrique z =a+ib. On identifie :

  • a = Re\left(z\right)
  • b = Im\left(z\right)

Ici, on a :

z=1-i

On en déduit que :

  • Re\left(z\right) = 1
  • Im\left(z\right) =-1
Etape 2

Calculer le module de z

On a \left| z \right| = \sqrt{a^2+b^2}. On calcule et on simplifie le module.

On a donc :

\left| z \right| = \sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}

\left| z \right| = \sqrt{2}

Etape 3

Déterminer un argument de z

Soit \theta, un argument de z. On sait que :

  • \cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}
  • sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}

On s'aide alors du cercle trigonométrique ainsi que des cos et sin des angles classiques pour déterminer une valeur de \theta.

Soit \theta, un argument de z.

On sait que :

  • \cos \theta = \dfrac{a}{\left| z \right|}
  • sin\theta = \dfrac{b}{\left| z \right|}

Donc, ici :

  • \cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt2}= \dfrac{\sqrt2}{2}
  • sin\theta = \dfrac{-1}{\sqrt2}= -\dfrac{\sqrt2}{2}

À l'aide du cercle trigonométriques et des valeurs de cos et sin des angles classiques, on obtient :

\theta = -\dfrac{\pi}{4}+2k\pi, k\in\mathbb{Z}

Etape 4

Donner la forme voulue de z

  • Une forme trigonométrique de z est z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right).
  • Une forme exponentielle de z est z = \left| z \right|e^{i\theta}.

On en déduit que :

z = \sqrt 2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) + i\;\sin \left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)

Méthode 2

Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique

Si un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right) ou sous forme exponentielle z = \left| z \right|e^{i\theta}, on peut retrouver sa forme algébrique.

On considère le nombre complexe suivant :

z = 2e^{i\frac{4\pi}{3}}

Déterminer la forme algébrique de z.

Etape 1

Identifier le module et un argument de z

Selon la forme donnée en énoncé, on a au choix :

  • z = \left| z \right|\left(\cos \theta + i \sin \theta\right)
  • z = \left| z \right|e^{i\theta}

On identifie le module \left| z \right| de z et un argument \theta de z.

Ici, on a

  • \left| z \right| = 2
  • \theta = \dfrac{4\pi}{3} + 2k\pi, k\in\mathbb{Z}
Etape 2

Calculer a et b

On rappelle que :

  • a = \left| z \right| \cos \theta
  • b = \left| z \right| \sin \theta

On calcule \cos \theta et \sin \theta afin de déterminer a et b.

On sait que :

  • a = \left| z \right| \cos \theta
  • b = \left| z \right| \sin \theta

Donc, ici :

a =2 \cos \left(\dfrac{4\pi}{3}\right)

a =2 \cos \left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)

a =2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -1

Et :

b =2 \sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)

b =2 \sin\left(\pi +\dfrac{\pi}{3}\right)

b =2 \times \left(-\dfrac{\sqrt 3}{2}\right) = -\sqrt 3

Etape 3

Conclure

On en conclut la forme algébrique de z qui est de la forme z=a+ib.

La forme algébrique de z est donc :

z =-1-i\sqrt 3

L'écriture des formes exponentielle et trigonométrique nécessite uniquement la connaissance du module et d'un argument de z. On peut donc très simplement passer de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, et inversement.

Si une forme exponentielle de z est :

z=3e^{i\frac{\pi}{3}}

Alors une forme trigonométrique de z est :

z=3\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\right)