Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :
\(\displaystyle{z_A = -1+i }\) ; \(\displaystyle{z_B = 1+3i}\) ; \(\displaystyle{z_C = 4+3i}\) et \(\displaystyle{z_D =7}\)
Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
Réciter le cours
On rappelle que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).
\(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).
Expliciter la condition
Etant donné que :
\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)}\),
(AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)= \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\) ; \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).
Cela revient à montrer que le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) est un imaginaire pur.
Or, on sait que :
\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)}\)
Ainsi, \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) et \(\displaystyle{\left(CD\right)}\) sont perpendiculaires si et seulement si \(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)= \dfrac{\pi}{2} +k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).
On cherche donc à montrer que \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) est un imaginaire pur.
Calculer le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\)
On calcule \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) et on simplifie son expression.
\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{7-\left(4+3i\right)}{1+3i-\left(-1+i\right)} = \dfrac{3-3i}{2+2i} }\)
D'où :
\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{3-3i}{2+2i} }\)
\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{3-3i}{2+2i} \times \dfrac{2-2i}{2-2i}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{6-6i-6i+6i^2}{4+4} }\)
Finalement :
\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = -\dfrac{12}{8} i= -\dfrac{3}{2} i}\)
Conclure
Si le complexe obtenu est un imaginaire pur, on conclut que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.
\(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = -\dfrac{3}{2} i}\). Donc \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) est un imaginaire pur.
Ainsi, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.