Montrer que deux droites sont perpendiculairesMéthode

Deux droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi, k\in\mathbb{Z}.

On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives :

z_A = -1+i ; z_B = 1+3i ; z_C = 4+3i et z_D =7

Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi, k\in\mathbb{Z}.

\left(AB\right) et \left(CD\right) sont perpendiculaires si et seulement si \left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = \dfrac{\pi}{2} +k\pi, k\in\mathbb{Z}.

Etape 2

Expliciter la condition

Etant donné que :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right),

(AB) et (CD) sont perpendiculaires si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)= \dfrac{\pi}{2} +k\pi ; k\in\mathbb{Z}.

Cela revient à montrer que le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} est un imaginaire pur.

Or, on sait que :

\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) =arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)

Ainsi, \left(AB\right) et \left(CD\right) sont perpendiculaires si et seulement si arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right)= \dfrac{\pi}{2} +k\pi, k\in\mathbb{Z}.

On cherche donc à montrer que \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} est un imaginaire pur.

Etape 3

Calculer le complexe \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}

On calcule \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} et on simplifie son expression.

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{7-\left(4+3i\right)}{1+3i-\left(-1+i\right)} = \dfrac{3-3i}{2+2i}

D'où :

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{3-3i}{2+2i}

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{3-3i}{2+2i} \times \dfrac{2-2i}{2-2i}

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = \dfrac{6-6i-6i+6i^2}{4+4}

Finalement :

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = -\dfrac{12}{8} i= -\dfrac{3}{2} i

Etape 4

Conclure

Si le complexe obtenu est un imaginaire pur, on conclut que les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.

\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} = -\dfrac{3}{2} i. Donc \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} est un imaginaire pur.

Ainsi, les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires.