Déterminer une longueur à l'aide des complexesMéthode

Grâce aux nombres complexes, on peut déterminer des angles et des longueurs et donc résoudre des problèmes géométriques.

Soient A et B, deux point d'affixes respectives z_A = 1+i et z_B = 2-3i. Calculer AB.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que AB = \left| z_B-z_A \right|.

On sait que :

AB = \left| z_B-z_A \right|

Etape 2

Calculer \left( z_B-z_A \right)

On écrit z_B -z_A sous sa forme algébrique afin d'en déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

z_B-z_A = 2-3i-\left(1+i\right)

z_B-z_A = 2-3i-1-i

Donc :

z_B-z_A = 1-4i

Etape 3

Déterminer \left| z_B-z_A \right|

On calcule \left| z_B-z_A \right| en utilisant la forme algébrique du complexe.

On en déduit que :

\left| z_B -z_A \right| = \left| 1-4i \right|

\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{1^2+\left(-4\right)^2}

\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{17}

Etape 4

Conclure sur la longueur AB

On conclut en donnant la valeur de la longueur AB.

On obtient :

AB = \sqrt{17}

Le calcul de la longueur OA est un cas particulier du calcul de la longueur AB.

On a alors directement OA=\left| z_A \right|.