Passer de la forme exponentielle à la forme algébrique Exercice

z=2e^{i\frac{\pi}{4}}

z=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+isin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right)

Or on a :

• \cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
• \sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

On obtient donc :

z=2\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)

z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}

z=5e^{-i\frac{\pi}{3}}

z=5\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)+isin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\right)

Or on a :

• \cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}
• \sin\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On obtient donc :

z=5\left(\dfrac{1}{2}-i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)

z=\dfrac{5}{2}-i\dfrac{5\sqrt{3}}{2}

z=2e^{-i\frac{\pi}{6}}

z=2\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)+isin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)\right)

Or on a :

• \cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}
• \sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}

On obtient donc :

z=2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}i\right)

z=\sqrt{3}-i

z=6e^{-i\pi}

z=6\left(\cos\left(-\pi\right)+isin\left(-\pi\right)\right)

Or on a :

• \cos\left(-\pi\right)=-1
• \sin\left(-\pi\right)=0

On obtient donc :

z=6\left(-1+0\right)

z=-6

z=e^{i\frac{5\pi}{6}}

z=\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+isin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)

Or on a :

• \cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt3}{2}
• \sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}

On obtient donc :

z=-\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{1}{2}i

z=8e^{-i\frac{\pi}{4}}

z=8\left(\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)+isin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\right)

Or on a :

• \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt2}{2}
• \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt2}{2}

On obtient donc :

z=4\sqrt2-4\sqrt2i

z=4e^{i\frac{2\pi}{3}}

z=4\left(\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)+isin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)\right)

Or on a :

• \cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}
• \sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt3}{2}

On obtient donc :

z=-2+2\sqrt3i