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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020
Introduction
Le nombre i
i^2=-1
Forme algébrique
Forme algébrique
L'écriture z = x + iy avec x\in\mathbb{R} et y\in\mathbb{R} est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.
Partie réelle et partie imaginaire
Soit un nombre complexe z = x + iy :
- on appelle partie réelle de z, notée \text{Re}\left(z\right), le réel x ;
- on appelle partie imaginaire de z, notée \text{Im}\left(z\right), le réel y.
Conjugué
Soit un nombre complexe z = x + iy.
On appelle conjugué de z, noté \overline{z}, le complexe x-iy.
Soient z et z' deux nombres complexes.
- \overline{\overline{z}} = z
- z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)
- z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)
- z est réel \Leftrightarrow z = \overline{z}
- z est imaginaire pur \Leftrightarrow z = - \overline{z}
- \overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}
- \overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}
- Si z' non nul : \overline{ \left( \dfrac{z}{z’} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}
- Pour tout entier n : \overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}
Module et argument
Module
Soit un nombre complexe z = x + iy.
On appelle module de z, noté |z|, le réel :
\sqrt{x^{2} + y^{2}}
Soient z et z’ deux nombres complexes.
- z \overline{z} = |z|^{2}
- |z| = |\overline{z}|
- |z| = |- z|
- |zz'| = |z| \times |z'|
- Si z' non nul : \left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}
- Pour tout entier n : |z^{n}| = |z|^{n}
Argument
On appelle argument de z, noté \arg\left(z\right) la mesure en radians de l'angle orienté \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) :
\arg\left(z\right) = \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]
Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.
- \arg\left(zz'\right) = \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right)\left[2\pi \right]
- \arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = - \arg\left(z\right)\left[2\pi \right]
- \arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right)\left[2\pi \right]
- Pour tout entier naturel n : \arg\left(z^{n}\right) = n \arg\left(z\right)\left[2\pi \right]
- z est réel \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = \pi \left[2\pi \right]
- z est imaginaire pur \Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right] ou \arg\left(z\right) = -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]
Forme trigonométrique et exponentielle
| Forme trigonométrique | Forme exponentielle |
|---|---|
| Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta. On peut alors exprimer z sous sa forme trigonométrique : z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right) | Soit un nombre complexe z non nul d'argument \theta. On peut alors exprimer z sous sa forme exponentielle : z = |z| e^{i\theta} |
Interprétation géométrique
| Distance | Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} : AB = |z_{B} - z_{A}| |
|---|---|
| Angle | Soient A et B deux points d'affixes respectives z_{A} et z_{B} : \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) = \arg\left(z_{B} - z_{A}\right) |
| Argument d'un quotient (1) | Soient \overrightarrow{v_{1}} et \overrightarrow{v_{2}} deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z_{1} et z_{2} : \left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right) |
| Argument d'un quotient (2) | Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives z_{A}, z_{B} et z_{C} : \left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right) |
Equation du second degré dans \mathbb{C}
Solutions d'une équation du second degré dans \mathbb{C}
Soit l'équation du second degré az^2+bz+c=0 avec z\in\mathbb{C}, a\in\mathbb{R}^*, b\in\mathbb{R} et c\in\mathbb{R}.
\Delta =b^2-4ac
Les solutions de l'équation sont données dans le tableau suivant :
| Valeur de \Delta | Nombre et nature des solutions | Valeur des solutions |
|---|---|---|
| \Delta\gt0 | 2 solutions réelles | z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} ou z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} |
| \Delta=0 | 1 solution double réelle | z_0=\dfrac{-b}{2a} |
| \Delta\lt0 | 2 solutions complexes conjuguées | z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a} ou z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a} |