Reconnaître une équation de cercleMéthode

Le cercle de centre A d'affixe z=a+ib et de rayon R est \left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2 =R^2.

On considère l'équation suivante :

x^2+y^2-2x+4y = 20

Montrer que cette équation est celle d'un cercle et déterminer son centre et son rayon.

Etape 1

Se ramener à une équation du type x^2+ax+y^2+by+c = 0

On simplifie afin de se ramener à une équation de la forme x^2+ax+y^2+by+c = 0.

Si les coefficients de x^2 et y^2 ne sont pas les mêmes, ce n'est pas une équation de cercle.

On passe tous les termes du même côté et on regroupe les termes en x et en y. L'équation devient :

x^2-2x+y^2+4y -20 = 0

Etape 2

Faire apparaître les identités remarquables

On fait apparaître les identités remarquables.

On a :

  • \forall x \in\mathbb{R}, x^2-2x = x^2-2\times x +1-1 = \left(x-1\right)^2-1
  • \forall y \in\mathbb{R}, y^2+4y = y^2+2 \times y \times 2 +4-4 = \left(y+2\right) ^2 -4

L'équation devient donc :

\left(x-1\right)^2-1+\left(y+2\right)^2-4 -20 = 0

Etape 3

Isoler les constantes dans le membre de droite

On isole les constantes dans le membre de droite.

En isolant les constantes, on obtient :

\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=25

Etape 4

Conclure

Si le membre de droite est positif, on reconnaît une équation de cercle de centre O\left(x_O+iy_O\right) et de rayon r de la forme :

\left(x-x_O\right)^2+\left(y-y_O\right)^2 = r^2

Si le membre de droite est négatif, il ne s'agit pas d'une équation de cercle.

L'équation est donc de la forme :

\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2=5^2

On reconnaît l'équation du cercle de centre O\left(1-2i\right) et de rayon r = 5.