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Donner les solutions d'une équation trigonométrique dans un intervalle donné Méthode

Lorsque l'on résout une équation trigonométrique, on obtient souvent une infinité de solutions sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). L'énoncé peut demander de restreindre l'ensemble de ces solutions à un intervalle I donné.

Résoudre l'équation trigonométrique suivante sur \(\displaystyle{\left]-\pi ; \pi\right]}\) :

\(\displaystyle{\cos \left(3x\right) = -1}\)

Etape 1

Résoudre l'équation dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

On résout l'équation trigonométrique sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

On obtient un ensemble de solutions de la forme \(\displaystyle{S = \left\{ a+k \dfrac {\pi}{b} \right\}}\), avec \(\displaystyle{a\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{b\in\mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\).

On remarque que \(\displaystyle{\cos \left(\pi \right)= -1}\)

Donc, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\cos\left(3x\right) = -1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \cos\left(3x\right) = \cos\left(\pi\right)}\)

D'après le cours, on sait que pour tous réels a et b :

\(\displaystyle{\cos\left(a\right) = \cos \left(b\right) \Leftrightarrow\begin{cases}a= b + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr \cr a = -b+ 2k \pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}}\)

Ici, en posant \(\displaystyle{a = 3x}\) et \(\displaystyle{b = \pi}\), on obtient, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\cos\left(3x\right) = \cos \left(\pi\right) }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} 3x= \pi + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr \cr 3x = -\pi + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} x= \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \cr \cr x =- \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}}\)

Or \(\displaystyle{-\dfrac{\pi}{3} +1\times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} }\)

D'où, pour tout réel x :

\(\displaystyle{\cos\left(3x\right) = \cos \left(\pi\right) }\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow x= \dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}}\)

On en déduit que les solutions de l'équation sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) sont :

\(\displaystyle{S = \left\{ \dfrac{\pi}{3}+ k \dfrac{2\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \right\}}\)

Etape 2

Rappeler l'intervalle demandé

On rappelle l'intervalle sur lequel on cherche les solutions de l'équation.

On cherche les solutions de l'équation sur \(\displaystyle{\left]-\pi ; \pi \right]}\).

Etape 3

Déterminer les valeurs de k pour lesquelles la solution appartient à l'intervalle demandé

On cherche à déterminer k tel que les solutions de l'équation appartiennent à \(\displaystyle{\left[ c;d \right]}\)

On écrit que l'on cherche \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\) tel que :

\(\displaystyle{-\pi \lt a+k \dfrac {\pi}{b} \leq \pi}\)

On résout cette inéquation afin d'avoir un encadrement de k :

\(\displaystyle{-\pi \lt a+k \dfrac {\pi}{b} \leq \pi}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\pi -a\lt k \dfrac {\pi}{b} \leq \pi-a}\)

Donc \(\displaystyle{\left(-\pi -a\right) \times \dfrac{b}{\pi} \lt k \leq \left(\pi-a\right)\times \dfrac{b}{\pi}}\)

On calcule ensuite une valeur approchée de \(\displaystyle{\left(-\pi -a\right) \times \dfrac{b}{\pi}}\) et de \(\displaystyle{\left(\pi -a\right) \times \dfrac{b}{\pi}}\), et on choisit les valeurs de \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\) vérifiant l'inégalité.

On cherche l'entier relatif k tel que \(\displaystyle{-\pi \lt \dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}\leq \pi}\) :

\(\displaystyle{-\pi \lt \dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3}\leq \pi}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\pi-\dfrac{\pi}{3} \lt k\dfrac{2\pi}{3}\leq \pi-\dfrac{\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\dfrac{4\pi}{3} \lt k\dfrac{2\pi}{3}\leq \dfrac{2\pi}{3}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -\dfrac{4\pi}{3} \times\dfrac{3}{2\pi} \lt k\leq \dfrac{2\pi}{3}\times \dfrac{3}{2\pi}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow -2\lt k\leq 1}\)

On en déduit donc que k peut prendre les valeurs \(\displaystyle{k=-1}\) ; \(\displaystyle{k=0}\) et \(\displaystyle{k=1}\).

Etape 4

Conclure

Pour les valeurs de k déterminées précédemment, on calcule \(\displaystyle{a +k\dfrac{\pi}{b}}\).

Les valeurs trouvées sont les solutions de l'équation trigonométriques sur \(\displaystyle{\left[ c;d \right]}\).

On calcule \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3}}\) avec les valeurs de k trouvées précédemment :

  • \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3} -1\times \dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{\pi}{3}}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3} +0\times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3} +1\times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi}{3} = \pi}\)

On en déduit que les solutions de l'équation \(\displaystyle{\cos \left(3x\right)= -1 }\) sur \(\displaystyle{\left]-\pi;\pi \right]}\) sont :

\(\displaystyle{S = \left\{ -\dfrac{\pi}{3}; \dfrac{\pi}{3} ; \pi \right\}}\)