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Montrer que des points appartiennent à un cercle

On peut montrer que des points appartiennent au même cercle en utilisant les complexes. En effet, deux points A et B appartiennent au même cercle de centre O si et seulement si \(\displaystyle{OA=OB}\), et cette égalité peut être démontrée à l'aide des modules.

On considère les points A, B, C, D d'affixes respectives :

\(\displaystyle{z_A = 1+2i}\), \(\displaystyle{z_B = -1}\), \(\displaystyle{z_C = 1 -2i}\) et \(\displaystyle{z_D= 3}\)

Montrer que les points A, B, C, D appartiennent à un même cercle.

Etape 1

Déterminer le centre du cercle s'il n'est pas donné

On place les points sur un repère. Si le centre du cercle n'est pas donné, on le conjecture graphiquement.

On place les points sur un repère.

-

Graphiquement, on conjecture que les points A, B, C et D sont sur un cercle de centre E d'affixe \(\displaystyle{z_E = 1}\) .

Etape 2

Réciter le cours

On rappelle la condition pour que plusieurs points appartiennent au même cercle : ils doivent être à égale distance du centre du cercle.

A, B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E si et seulement si :

\(\displaystyle{AE =BE = CE =DE}\)

Etape 3

Calculer chaque longueur

On sait que :

\(\displaystyle{AB = \left| z_B -z_A \right|}\)

On calcule chacune des longueurs à l'aide de cette formule.

On calcule chacune des longueurs en utilisant les modules :

\(\displaystyle{AE = \left| z_E - z_A \right|}\)

\(\displaystyle{AE = \left|1 -\left(1+2i\right)\right|}\)

\(\displaystyle{AE = \left|-2i\right|}\)

\(\displaystyle{AE =\sqrt{0^2+\left(-2\right)^2}}\)

\(\displaystyle{AE =2}\)

De plus :

\(\displaystyle{BE = \left| z_E - z_B \right|}\)

\(\displaystyle{BE = \left|1 -\left(-1\right)\right|}\)

\(\displaystyle{BE = \left|2\right|}\)

\(\displaystyle{BE =2}\)

Ensuite :

\(\displaystyle{CE = \left| z_E - z_C \right|}\)

\(\displaystyle{CE = \left|1 -\left(1-2i\right)\right|}\)

\(\displaystyle{CE = \left|2i\right|}\)

\(\displaystyle{CE =\sqrt{0^2+2^2}}\)

\(\displaystyle{CE =2}\)

Enfin :

\(\displaystyle{DE = \left| z_E - z_D \right|}\)

\(\displaystyle{DE = \left|1 -3\right|}\)

\(\displaystyle{DE = \left|-2\right|}\)

\(\displaystyle{DE =2}\)

Etape 4

Conclure

Si les longueurs sont égales, on conclut que les points A, B, C et D appartiennent au cercle de centre E.

On a :

\(\displaystyle{AE = BE = CE =DE}\)

Donc les points A, B, C et D appartiennent au même cercle de centre E (et de rayon 2).