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Résoudre une équation trigonométrique du type cos(x)=a

À l'aide du cercle trigonométrique et des angles usuels, on sait déterminer les solutions des équations au programme de 2nde du type \(\displaystyle{\cos \left(x\right) = a}\).

Résoudre l'équation suivante sur \(\displaystyle{\left[ 0 ; \pi \right]}\) :

\(\displaystyle{\cos \left(x\right) = \dfrac {1}{2}}\)

Etape 1

Se ramener à une équation du type \(\displaystyle{\cos\left(x\right)=\cos\left(\alpha\right)}\)

Si ce n'est pas déjà le cas, on se ramène à une équation du type \(\displaystyle{\cos\left(x\right) = \cos\left(\alpha\right)}\) à l'aide des valeurs remarquables de cosinus.

On remarque que :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{2} = \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)}\)

L'équation devient donc :

\(\displaystyle{\cos\left(x\right) = \cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)}\)

Etape 2

Déterminer les réels qui ont le même cosinus

On trace la droite \(\displaystyle{x = a}\) sur le cercle trigonométrique.

L'intersection de cette droite avec le cercle donne les solutions de l'équation \(\displaystyle{\cos\left(x\right) = \cos\left(\alpha\right) }\).

-

On en déduit que :

\(\displaystyle{\cos\left(x\right) =\cos\left(\alpha\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou\cr x=-\alpha +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}}\)

On trace la droite \(\displaystyle{x = \dfrac{1}{2}}\) sur le cercle trigonométrique.

-

On en déduit que :

\(\displaystyle{\cos\left(x\right) =\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \Leftrightarrow\begin{cases} x = \dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \cr ou \cr x=-\dfrac{\pi}{3} +2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \end{cases}}\)

Etape 3

Rappeler l'intervalle d'étude demandé

On rappelle l'intervalle sur lequel on recherche les solutions.

On cherche les solutions appartenant à l'intervalle \(\displaystyle{\left[ 0;\pi\right]}\).

Etape 4

Conclure

On sélectionne la ou les solution(s) appartenant à I.

Le seul réel qui convient est \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\). Donc l'ensemble des solutions est :

\(\displaystyle{S = \left\{ \dfrac{\pi}{3}\right\}}\)