On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=\dfrac{x^{2}}{4}-2
Quel enchaînement de fonctions permet de passer de x à f(x) ?
On part de x.
- On applique la fonction carré à x.
x\longmapsto x^{2} - On multiplie x^{2} par la constante \dfrac{1}{4}.
x^{2} \longmapsto \dfrac{1}{4}x^{2} - On applique la fonction affine x-2 à \dfrac{1}{4}x^{2}.
\dfrac{1}{4}x^{2} \longmapsto \dfrac{1}{4}x^{2}-2
La fonction f est donc construite selon l'enchaînement suivant :
x\longmapsto x^{2} \longmapsto \dfrac{1}{4}x^{2} \longmapsto \dfrac{1}{4}x^{2}-2
Quel est le sens de variation de f sur \left]0;+\infty\right[ ?
Soient a et b deux réels tels que :
0\lt a\lt b
Les membres de l'inéquation étant positifs, on obtient, par passage au carré :
0\lt a^{2}\lt b^{2}
On multiplie par \dfrac{1}{4} à chaque membre :
\dfrac{1}{4}\times0\lt \dfrac{1}{4}a^{2}\lt \dfrac{1}{4}\times b^{2}
On ajoute -2 à chaque membre :
-2\lt \dfrac{1}{4}a^{2}-2\lt \dfrac{1}{4}\times b^{2}-2
La fonction f est donc croissante sur \left]0;+\infty\right[.
Quel tableau de variations de f sur \mathbb{R} est correct ?
On sait que la fonction f est croissante sur \left]0;+\infty\right[.
Comme on a f\left(-x\right)=\dfrac{\left(-x\right)^{2}}{4}-2=\dfrac{x^{2}}{4}-2=f\left(x\right) alors la fonction est paire. La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On en déduit que f est décroissante sur \left]-\infty;0\right[
f\left(0\right)=\dfrac{0^{2}}{4}-2=-2
On obtient donc le tableau de variations de f :
