On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-\left(x^{2}+2\right)-1
Quel enchaînement de fonctions permet de passer de x à f(x) ?
On part de x.
- On applique la fonction carré à x.
x\longmapsto x^{2} - On applique la fonction affine x+2 à x^{2}.
x^{2} \longmapsto x^{2}+2 - On multiplie x^{2}+2 par la constante -1.
x^{2}+2 \longmapsto -\left(x^{2}+2\right) - On applique la fonction affine x-1 à -\left(x^{2}+2\right). -\left(x^{2}+2\right) \longmapsto -\left(x^{2}+2\right) -1
La fonction f est donc construite selon l'enchaînement suivant :
x\longmapsto x^{2} \longmapsto x^{2}+2 \longmapsto -\left(x^{2}+2\right) \longmapsto -\left(x^{2}+2\right) -1
Quel est le sens de variation de f sur \left]0;+\infty\right[ ?
Soient a et b deux réels tels que :
0\lt a\lt b
Les membres de l'inéquation étant positifs, on obtient, par passage au carré :
0\lt a^{2}\lt b^{2}
On ajoute 2 à chaque membre :
0+2\lt a^{2}+2 \lt b^{2}+2
On multiplie -1 à chaque membre :
-2 \gt -\left(a^{2}+2\right) \gt -\left(b^{2}+2\right)
On ajoute -1 à chaque membre :
-3 \gt -\left(a^{2}+2\right)-1 \gt -\left(b^{2}+2\right)-1
La fonction f est donc décroissante sur \left]0;+\infty\right[.
Quel tableau de variations de f sur \mathbb{R} est correct ?
On sait que la fonction f est décroissante sur \left]0;+\infty\right[.
Comme on a f\left(-x\right)=-\left(\left(-x\right)^{2}+2\right)-1=-\left(x^{2}+2\right)-1=f\left(x\right) alors la fonction est paire. La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On en déduit que f est croissante sur \left]-\infty;0\right[
f\left(0\right)=-\left(0^{2}+2\right)-1=-2-1=-3
On obtient donc le tableau de variations de f :
