Dans le repère orthonormé \left( O,I,J \right).
Soient les points A\left( 1;-1 \right), B\left( 5;2 \right) et C \left( 2;6 \right).
Soit H le pied de la hauteur du triangle ABC issue du sommet B.
Le triangle ABC est-il isocèle ?
En faisant une figure, il semble que le triangle soit isocèle en B.
On peut donc le vérifier en calculant les longueurs BC et AB :
- AB=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(5-1\right)^{2}+\left(2-\left(-1\right)\right)^{2}}=\sqrt{25}=5
- BC=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5
On a bien : AB=BC.
Le triangle ABC est donc isocèle en B.
Quelles sont les coordonnées du point H ?
H est le pied de la hauteur issue du sommet principal du triangle isocèle ABC.
Or dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane associée à ce sommet. On en déduit que H est le milieu du segment \left[AC\right].
On peut donc calculer aisément ses coordonnées grâce à la formule :
- x_{H}=\dfrac{x_{A}+x_{C}}{2}=\dfrac{3}{2}
- y_{H}=\dfrac{y_{A}+y_{C}}{2}=\dfrac{-1+6}{2}=\dfrac{5}{2}
Donc H a pour coordonnées \left(\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}\right) dans le repère \left(O;I;J\right).
Quelle est l'aire du triangle ABJ ?
Pour calculer l'aire du triangle ABC, il est nécessaire de déterminer au préalable les longueurs BH et AC :
- BH=\sqrt{\dfrac{49}{4}+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{50}{4}}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}
- AC=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}
On a donc : \mathcal{A}\left(ABC\right)=\dfrac{5\sqrt{2}\times\dfrac{5\sqrt{2}}{2}}{2}=\dfrac{25}{2}.
L'aire du triangle ABC est donc \dfrac{25}{2}.