Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=x^2-2x+m
Pour quelle(s) valeur(s) de m la courbe représentative P de la fonction f coupe-t-elle l'axe des abscisses en un seul point ?
P coupe l'axe des abscisses en un seul point si et seulement si f\left(x\right)=0 admet une seule solution. C'est-à-dire si le discriminant du trinôme du second degré est nul.
\Delta=0
\Leftrightarrow b^2-4\times a\times c=0
\Leftrightarrow \left(-2\right)^2-4\times1\times m=0
\Leftrightarrow 4-4 m=0
\Leftrightarrow m=1
La parabole coupe l'axe des abscisses en un seul point pour m=1.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P coupe-t-elle la droite d'équation y=2x-3 en un seul point ?
Les points de coordonnées \left( x;y \right), intersection de la parabole et de la droite, vérifient à la fois l'équation de la parabole et de la droite. Ils sont solutions du système suivant :
\begin{cases} y=x^2-2x+m \cr \cr y=2x-3 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-3=x^2-2x+m \cr \cr y=2x-3 \end{cases}
On considère la première ligne du système qui donne les abscisses x solutions.
2x-3=x^2-2x+m\Leftrightarrow x^2-4x+m+3=0
On cherche les valeurs de m telles que la parabole et la droite ne se coupent qu'en un point. Cette dernière équation admet une solution unique si et seulement si son discriminant est nul :
\Delta=0
\Leftrightarrow \left(-4\right)^2-4\times1\times\left(m+3\right)=0
\Leftrightarrow 16-4 m-12=0
\Leftrightarrow 4 m=4
\Leftrightarrow m=1
La parabole P coupe donc la droite d'équation y=2x-3 en un seul point pour m=1.
Pour quelle(s) valeur(s) de m la parabole P passe-t-elle par le point E\left( 1;7 \right) ?
La parabole passe par le point E\left( 1;7 \right) si et seulement si f\left(1\right)=7
\Leftrightarrow 1-2+m=7
\Leftrightarrow m=8
La parabole P passe donc par le point E\left( 1;7 \right) pour m=8.
Pour quelle(s) valeur(s) de m le minimum de la fonction f est-il égal à 9 ?
Le trinôme x^2-2x+m admet pour minimum :
\dfrac{-\Delta}{4a}=\dfrac{-4+4 m}{4}=-1+m
Pour que le minimum de f soit donc égal à 9, on doit donc avoir :
m-1=9\Leftrightarrow m=10
Le minimum de la fonction f est donc égal à 9 pour m=10.