Soit le repère orthonormal \left(O,I,J\right).
On considère les points : A\left( 6;-4 \right), B \left( 8;0 \right), C\left( -2;0 \right) et D \left( 0;4 \right).
On appelle E le milieu du segment \left[ AB \right], F le milieu du segment \left[ DC \right], et G le point d'intersection des droites \left( AD \right) et \left( BC \right).
Déterminer les équations réduites des droites \left( AD \right) et \left( BC \right).
Pour déterminer l'équation réduite d'une droite, il suffit de connaître son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.
Equation de la droite \left(AD\right)
Sachant que les points A et D appartiennent à la droite \left(AD\right), le coefficient directeur de \left(AD\right) est donc égal à :
\dfrac{y_{D}-y_{A}}{x_{D}-x_{A}}=\dfrac{4-\left(-4\right)}{0-6}=\dfrac{8}{-6}=-\dfrac{4}{3}
De plus, l'ordonnée à l'origine de la droite \left(AD\right) est l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées \left(Oy\right). Or, le point D est le point de la droite \left(AD\right) dont l'abscisse est nulle : il est donc l'intersection de \left(AD\right) et \left(Oy\right).
L'ordonnée à l'origine de la droite \left(AD\right) est donc l'ordonnée du point D, c'est-à-dire 4.
Ainsi :
\left(AD\right):y=-\dfrac{4}{3}x+4
Equation de la droite \left(BC\right)
Sachant que les points B et C appartiennent à la droite \left(BC\right), le coefficient directeur de \left(BC\right) est donc égal à :
\dfrac{y_{C}-y_{B}}{x_{C}-x_{B}}=\dfrac{0-0}{-2-8}=\dfrac{0}{-10}=0
De plus, l'ordonnée à l'origine de la droite \left(BC\right) est l'ordonnée de son point d'intersection avec l'axe des ordonnées \left(Oy\right). Or, les points B et C se trouvent sur l'axe des abscisses \left(Ox\right).
Ainsi :
\left(BC\right):y=0
On en déduit donc qu'une équation de la droite \left( AD \right) est y=-\dfrac{4}{3}x+4 et qu'une équation de la droite \left( BC \right) est y=0.
En déduire les coordonnées du point G.
Le point G est le point d'intersection des droites \left(AD\right) et \left(BC\right) ; il appartient donc aux deux droites. De ce fait, les coordonnées de G vérifient l'équation de chacune des droites, et donc le système suivant :
\begin{cases} y=-\dfrac{4}{3}x+4 \cr \cr y=0 \end{cases}
L'abscisse x de G vérifie donc la relation suivante :
-\dfrac{4}{3}x+4=0
\Leftrightarrow \dfrac{4}{3}x=4
\Leftrightarrow x=3
Et comme : y=0.
Les coordonnées du point G sont donc : \left(3;0 \right).
Calculer les coordonnées des points E et F.
Coordonnées de E
E étant le milieu du segment \left[ AB \right], ses coordonnées vérifient :
- x_{E}=\dfrac{x_{A}+x_{B}}{2}=\dfrac{6+8}{2}=7
- y_{E}=\dfrac{y_{A}+y_{B}}{2}=\dfrac{-4+0}{2}=-2
Les coordonnées du point E sont donc \left( 7;-2 \right).
Coordonnées de F
De même, F étant le milieu du segment \left[ CD \right], ses coordonnées vérifient :
- x_{F}=\dfrac{x_{C}+x_{D}}{2}=\dfrac{-2+0}{2}=-1
- y_{F}=\dfrac{y_{C}+y_{D}}{2}=\dfrac{0+4}{2}=2
Les coordonnées du point F sont donc \left( -1;2 \right).
E\left( 7;-2 \right) et F\left( -1;2 \right)
Conclure que les points E, G, F sont alignés.
La droite \left(FG\right) a une équation de la forme y=ax+b.
F\left(-1;2\right) et G\left(3;0\right) appartiennent à la droite \left(FG\right).
Le coefficient directeur de \left(FG\right) est :
m=\dfrac{y_{G}-y_{F}}{x_{G}-x_{F}}=\dfrac{0-2}{3-\left(-1\right)}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}.
\left(FG\right) a donc une équation de la forme y=-\dfrac{1}{2}x+b
\left(FG\right) passe par F\left(-1;2\right) donc les coordonnées de F vérifient l'équation de \left(FG\right).
On obtient :
2=-\dfrac{1}{2}\times-1+b
\Leftrightarrow b=2-\dfrac{1}{2}
\Leftrightarrow b=\dfrac{3}{2}
L'équation de \left(FG\right) est y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}
Le point E\left(7;-2\right) appartient à la droite \left(FG\right) si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de la droite, c'est-à-dire si et seulement si y_{E}=-\dfrac{1}{2}x_{E}+\dfrac{3}{2}.
-\dfrac{1}{2}x_{E}+\dfrac{3}{2}=-\dfrac{1}{2}×7+\dfrac{3}{2}=-2.
Donc le point E\left(7;-2\right) appartient à \left(FG\right).
Les points E, G et F appartiennent tous à une même droite : ils sont donc alignés.