ABCD est un rectangle tel que AB=10 cm et AD=4 cm.
Soit EFGH le quadrilatère tel que :
- Les points E, F, G et H appartiennent aux segments \left[AB\right], \left[BC \right], \left[CD \right] et \left[ DA\right]
- AE=BF=CG=DH=x
On appelle f la fonction qui associe à x l'aire du quadrilatère EFGH.
Quelles sont les valeurs possibles de x ?
On sait que le point E \in \left[AB\right]
Donc : 0\leqslant x \leqslant10
De plus, le point F \in \left[BC\right]
Donc : 0\leqslant x \leqslant4
Finalement, x est un réel de l'intervalle \left[0;4\right].
Quelle est l'expression de la fonction f qui associe à x l'aire du quadrilatère EFGH ?
On cherche à exprimer l'aire de EFGH en fonction de x.
L'aire du quadrilatère EFGH peut être obtenue en retirant au rectangle ABCD les aires de quatre triangles rectangles :
Aire du rectangle ABCD
L'aire de ABCD est égale à : 10\times4=40 cm2
Aire des triangles EBF et GDH
Les triangles EBF et GDH sont superposables. Leurs aires sont donc égales.
Le triangle EBF est rectangle en B, tel que :
- BF=x
- EB=10-x
On en déduit que son aire est égale à : \dfrac{x\left(10-x\right)}{2}
La somme des aires de ces deux triangles est donc égale à : x\left(10-x\right)
Aire des triangles CFG et AEH
De même, on montre que l'aire du triangle AEH vaut : \dfrac{x\left(4-x\right)}{2}
Et donc que la somme des aires des triangles AEH et CFG est égale à : x\left(4-x\right)
Aire du quadrilatère EFGH
Finalement, pour x \in \left[0;4 \right], on en déduit que l'aire de EFGH vaut :
f\left(x\right)=40-x\left(10-x\right)-x\left(4-x\right)
\Leftrightarrow f\left(x\right)=40-10x+x^{2}-4x+x^{2}
\Leftrightarrow f\left(x\right)=40-14x+2x^{2}
Donc, pour tout réel x de \left[0;4\right] : f\left(x\right)=2x^{2}-14x+40
La forme canonique de f(x) est : f\left(x\right)=2\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\dfrac{31}{2}.
Quelle est la valeur de x pour laquelle l'aire d'EFHG est minimale ? Que vaut cette aire minimale ?
La fonction f est un polynôme de degré 2, dont la forme canonique est :
f\left(x\right)=2\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\dfrac{31}{2}
On remarque que le coefficient du terme de degré 2 de la fonction f est a=2, donc a\gt0.
On en déduit que la fonction f est décroissante jusqu’à x=\dfrac{7}{2}, puis croissante. On obtient le tableau de variations de f :
D'après le tableau de variations de f, on en déduit que la fonction atteint son minimum en \dfrac{31}{2} atteint en x=\dfrac{7}{2}.
On en déduit que l'aire de EFGH est minimale pour x=3{,}5 . Elle vaut alors 15,5 cm2.