ABCD est un rectangle tel que AB=9 cm et AD=5 cm.
Soit EFGH le quadrilatère tel que :
- Les points E, F, G et H appartiennent aux segments \left[AB\right], \left[BC \right], \left[CD \right] et \left[ DA\right]
- AE=AH=FC=CG=x
On appelle f la fonction qui associe à x l'aire du quadrilatère EFGH.
Quelles sont les valeurs possibles de x ?
On sait que le point E \in \left[AB\right]
Donc : 0\leqslant x \leqslant9
De plus, le point F \in \left[BC\right]
Donc : 0\leqslant x \leqslant5
Finalement, x est un réel de l'intervalle \left[0;5\right].
Quelle est l'expression de la fonction f qui associe à x l'aire du quadrilatère EFGH ?
On cherche à exprimer l'aire de EFGH en fonction de x.
L'aire du quadrilatère EFGH peut être obtenue en retirant au rectangle ABCD les aires de quatre triangles rectangles :
Aire du rectangle ABCD
L'aire de ABCD est égale à : 9\times5=45 cm2
Aire des triangles EBF et GDH
Les triangles EBF et GDH sont superposables. Leurs aires sont donc égales.
Le triangle EBF est rectangle en B, tel que :
- BF=5-x
- EB=9-x
On en déduit que son aire est égale à : \dfrac{\left(9-x\right)\left(5-x\right)}{2}
La somme des aires de ces deux triangles est donc égale à : \left(9-x\right)\left(5-x\right)
Aire des triangles CFG et AEH
De même, on montre que l'aire du triangle AEH vaut : \dfrac{x^{2}}{2}
Et donc que la somme des aires des triangles AEH et CFG est égale à : x^{2}
Aire du quadrilatère EFGH
Finalement, pour x \in \left[0;5 \right], on en déduit que l'aire de EFGH vaut :
f\left(x\right)=45-\left(5-x\right)\left(9-x\right)-x^{2}
\Leftrightarrow f\left(x\right)=45-\left(45-5x-9x+x^{2}\right)-x^{2}
\Leftrightarrow f\left(x\right)=45-45+14x-2x^{2}
\Leftrightarrow f\left(x\right)=14x-2x^{2}
Donc, pour tout réel x de \left[0;5\right] : f\left(x\right)=-2x^{2}+14x
La forme canonique de f(x) est : f\left(x\right)=-2\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\dfrac{49}{2}.
Quelle est la valeur de x pour laquelle l'aire d'EFHG est maximale ? Que vaut cette aire maximale ?
La fonction f est un polynôme de degré 2, dont la forme canonique est :
f\left(x\right)=-2\left(x-\dfrac{7}{2}\right)^{2}+\dfrac{49}{2}
On remarque que le coefficient du terme de degré 2 de la fonction f est a=-2, donc a\lt0.
On en déduit que la fonction f est croissante jusqu'à x=\dfrac{7}{2}, puis décroissante. On obtient le tableau de variations de f :
D'après le tableau de variations de f, on en déduit que la fonction atteint son maximum en \dfrac{49}{2} atteint en x=\dfrac{7}{2}.
On en déduit que l'aire de EFGH est maximale pour x=3{,}5 . Elle vaut alors 24,5 cm2.