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Dernière modification : 28/08/2025 - Conforme au programme 2025-2026
En mécanique, il est possible d'exploiter le théorème de l'énergie cinétique pour déterminer une grandeur relative au mouvement du système : généralement, une vitesse, la valeur d'une force ou une distance.
Un palet de 0{,}158 \text{ kg} est lancé sur la glace d'une patinoire à une vitesse initiale de 4{,}5 \text{ m.s}^{-1}. Il cesse son mouvement après avoir parcouru une distance de AB = 17{,}2 \text{ m}, conformément à la figure ci-dessous :
Déterminer la valeur de la force de frottements \overrightarrow{f} qui s'exerce sur ce palet.
Définir le système
On définit le système dont on étudie le mouvement.
Ici, le système est le palet.
Définir le référentiel
On définit le référentiel dans lequel on étudie le mouvement. Pour pouvoir utiliser le théorème de l'énergie cinétique, il faut choisir un référentiel galiléen, comme les référentiels terrestre, géocentrique, héliocentrique ou tout autre référentiel en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à l'un des trois précédents.
Ici, le référentiel que l'on choisit pour étudier le mouvement du palet est le référentiel terrestre, supposé galiléen.
Faire le bilan des forces qui s'exercent sur le système
On fait le bilan des forces qui s'exercent sur le système.
Les forces qui s'exercent sur le système sont : son poids \overrightarrow{P}, la réaction normale exercée par le sol \overrightarrow{R_N} et la force de frottements \overrightarrow{f}.
Schématiser les forces qui s'exercent sur le système
On schématise les forces qui s'exercent sur le système, soit à partir de leur point d'application, soir à partir du centre de gravité du système.
En représentant les forces à partir du point d'application du palet, on obtient le schéma suivant :
Écrire le théorème de l'énergie cinétique
On écrit le théorème de l'énergie cinétique appliqué au système étudié, dans le référentiel choisi.
D'après le théorème de l'énergie cinétique, la variation d'énergie cinétique du palet est égale à la somme des travaux des forces extérieures qu'il subit :
\Delta_{AB}E_c= \sum_{i}^{} W_{AB}\left(\overrightarrow{F_{ext}}\right)
Soit :
E_{c(B)}- E_{c(A)} = W_{AB}\left(\overrightarrow{P} \right) + W_{AB}\left(\overrightarrow{R_N} \right) + W_{AB}\left(\overrightarrow{f} \right)
Identifier les énergies et les travaux nuls
On identifie les énergies et les travaux nuls :
- Une énergie cinétique est nulle si la vitesse est nulle.
- Le travail d'une force est nul si cette force est perpendiculaire au déplacement.
Dans la situation considérée :
- L'énergie cinétique finale, au point B, est nulle puisque le palet s'immobilise.
- Les travaux du poids et de la réaction normale sont nuls car ces forces sont perpendiculaires au déplacement \overrightarrow{AB}.
On a donc :
E_{c(B)}=0 \text{ J}
W_{AB}\left(\overrightarrow{P} \right)= W_{AB}\left(\overrightarrow{R_N} \right) =0 \text{ J}
Le théorème de l'énergie cinétique devient alors :
- E_{c(A)} = W_{AB}\left(\overrightarrow{f} \right)
Isoler la grandeur recherchée
On isole la grandeur recherchée en développant les énergies cinétiques et les travaux restants.
On a :
- E_{c(A)} =\dfrac{1}{2} \times m \times v_{A^2}
- W_{AB}\left(\overrightarrow{f} \right) = \overrightarrow{f}.\overrightarrow{AB} = f \times AB\times \cos\left( \overrightarrow{f},\overrightarrow{AB} \right). Or, on peut voir sur le schéma que l'angle \left( \overrightarrow{f},\overrightarrow{AB} \right) vaut 180°, d'où : W_{AB}\left(\overrightarrow{f} \right) = f \times AB\times \cos\left( 180 \right)= -f \times AB
D'où :
-\dfrac{1}{2} \times m \times v_{A^2} = - f \times AB
Ici, la grandeur que l'on souhaite déterminer est la valeur des forces de frottements f. En l'isolant, on obtient :
f = \dfrac{ m \times v_{A^2}}{2 \times AB}
Repérer les grandeurs et effectuer l'application numérique
On repère les grandeurs nécessaires et on effectue l'application numérique.
On repère dans l'énoncé :
- la masse du palet : m=0{,}158 \text{ kg} ;
- la vitesse initiale du palet : v_A=4{,}5 \text{ m.s}^{-1} ;
- la distance parcourue : AB=17{,}2 \text{ m}.
D'où l'application numérique :
f = \dfrac{ 0{,}158 \times 4{,}5^2}{2 \times 17{,}2}
f = 9{,}3.10^{-2} \text{ N}
La valeur de la force de frottements qui s'exerce sur le palet est donc de 9{,}3.10^{-2} \text{ N}.