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Déterminer l'appartenance d'un point à une courbe

Un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\).

On considère la fonction f telle que, pour tout réel x, \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2+4x-1}\).

Les points \(\displaystyle{A\left(0;2\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(-1;-4\right)}\) appartiennent-ils à \(\displaystyle{C_f}\), la courbe représentative de f ?

Etape 1

Rappeler la condition d'appartenance

On rappelle qu'un point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à la courbe représentative de f si et seulement si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\).

  • Le point \(\displaystyle{A\left(0;2\right)}\) appartient à \(\displaystyle{C_f}\) si et seulement si \(\displaystyle{0\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(0\right) = 2}\).
  • Le point \(\displaystyle{B\left(-1;-4\right)}\) appartient à \(\displaystyle{C_f}\) si et seulement si \(\displaystyle{-1\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(-1\right) = -4}\).
Etape 2

Rappeler l'expression de f

On rappelle l'expression de f donnée en énoncé.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2+4x-1}\)

Etape 3

Effectuer le calcul

On remplace la variable de l'expression de f par l'abscisse du point, et on vérifie que l'on obtient l'ordonnée du point.

Pour le point \(\displaystyle{A\left(0;2\right)}\), on a :

  • \(\displaystyle{x_A=0}\) donc \(\displaystyle{x_A\in D_f}\)
  • \(\displaystyle{f\left(x_A\right)=f\left(0 \right) = 0^2+4\times 0-1=-1 \neq y_A}\)

Pour le point \(\displaystyle{B\left(-1;-4\right)}\), on a :

  • \(\displaystyle{x_B=-1}\) donc \(\displaystyle{x_B\in D_f}\)
  • \(\displaystyle{f\left(x_B\right)=f\left(-1 \right) = \left(-1\right)^2+4\times \left(-1\right)-1=1-4-1=-4=y_B}\)
Etape 4

Conclure

  • Si \(\displaystyle{x\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right) = y}\), alors le point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) appartient à la courbe représentative de f.
  • Sinon le point \(\displaystyle{M\left(x;y\right)}\) n'appartient pas à la courbe.

On remarque que :

  • \(\displaystyle{x_A\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x_A\right) \neq y_A}\)
  • \(\displaystyle{x_B\in D_f}\) et \(\displaystyle{f\left(x_B\right)=y_B}\)

On en déduit que \(\displaystyle{A \notin C_f}\) et que \(\displaystyle{B \in C_f}\).

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