Dans le repère orthonormé \left( O,I,J \right).
Soient les points A\left( 6;3 \right) et B \left( 8;-3 \right).
Soit H le pied de la hauteur du triangle ABJ issue du sommet A.
Le triangle ABJ est-il isocèle ?
En faisant une figure, il semble que le triangle soit isocèle en A.
On peut donc le vérifier en calculant les longueurs AJ et AB, sachant que les coordonnées du point J sont (0;1) :
- AJ=\sqrt{\left(x_{J}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{J}-y_{A}\right)^{2}}=\sqrt{\left(0-6\right)^{2}+\left(1-3\right)^{2}}=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}
- AB=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}
On a bien : AJ=AB.
Le triangle ABJ est donc isocèle en A.
Quelles sont les coordonnées du point H ?
H est le pied de la hauteur issue du sommet principal du triangle isocèle ABJ.
Or dans un triangle isocèle, la hauteur issue du sommet principal est aussi la médiane associée à ce sommet. On en déduit que H est le milieu du segment \left[BJ\right].
On peut donc calculer aisément ses coordonnées grâce à la formule :
- x_{H}=\dfrac{x_{B}+x_{J}}{2}=\dfrac{8+0}{2}=4
- y_{H}=\dfrac{y_{B}+y_{J}}{2}=\dfrac{-3+1}{2}=-1
Donc H a pour coordonnées (4;-1) dans le repère \left(O;I;J\right).
Quelle est l'aire du triangle ABJ ?
Pour calculer l'aire du triangle ABJ, il est nécessaire de déterminer au préalable les longueurs AH et BJ :
- AH=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}
- BJ=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}
On a donc : \mathcal{A}\left(ABJ\right)=\dfrac{2\sqrt{5}\times4\sqrt{5}}{2}=20.
L'aire du triangle ABJ est donc 20.