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Donner le sens de variation et l'extremum d'une fonction trinôme du second degré

Afin de déterminer le sens de variation d'une fonction polynôme du second degré, on détermine sa forme canonique.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = -2x^2-4x-7}\)

Donner le sens de variation de f ainsi que la valeur de son extremum.

Etape 1

Mettre le trinôme sous forme canonique

D'après le cours, on sait que la forme canonique d'un trinôme du second degré \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) est :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\)

Avec \(\displaystyle{\alpha = -\dfrac{b}{2a}}\) et \(\displaystyle{\beta = f\left(\alpha\right)}\)

On calcule donc \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta }\) et on en déduit la forme canonique.

La forme canonique d'un trinôme du second degré \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax^2+bx+c}\) est : \(\displaystyle{f\left(x\right)=a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\)

Avec \(\displaystyle{\alpha = -\dfrac{b}{2a}}\) et \(\displaystyle{\beta = f\left(\alpha\right)}\)

On calcule \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta }\) :

  • \(\displaystyle{\alpha = \dfrac{4}{2\times \left(-2\right)}=-1}\)
  • \(\displaystyle{\beta = f\left(-1\right) = -2\times \left(-1\right)^2 -4 \times \left(-1\right) -7 = -5}\)

On en déduit la forme canonique de f :

Pour tout réel x, \(\displaystyle{f\left(x\right) = -2\left(x+1\right)^2-5}\)

Etape 2

Donner le sens de variation de la fonction trinôme

Le sens de variation d'une fonction polynôme d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) =ax^2+bx+c}\) dépend du signe de a :

  • Si \(\displaystyle{a \gt 0}\) alors f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement croissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\).
  • Si \(\displaystyle{a \lt 0}\) alors f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; \alpha \right]}\) et strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[\alpha ;+\infty \right[}\).

Ici, \(\displaystyle{a= -2}\) donc \(\displaystyle{a \lt 0}\). Ainsi, f est strictement croissante puis strictement décroissante.

De plus, on a montré que \(\displaystyle{\alpha=-1}\).

On en déduit que :

  • f est strictement croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty ; -1\right]}\).
  • f est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\left[-1;+\infty \right[}\).
Etape 3

Donner la valeur de l'extremum

Une fonction f d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right) =a\left(x-\alpha\right)^2+\beta}\) admet un extremum de \(\displaystyle{\beta}\) atteint en \(\displaystyle{x=\alpha}\).

On a \(\displaystyle{\alpha = -1}\) et \(\displaystyle{\beta = -5}\), on en déduit que f admet un extremum de −5 atteint en \(\displaystyle{x=-1}\).

Etape 4

Dresser le tableau de variations de f

On dresse le tableau de variations de f à l'aide des questions précédentes.

On en déduit le tableau de variations de f :

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