On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :
f\left(x\right)=-\dfrac{5}{x^{2}+2}+3
Quel enchaînement de fonctions permet de passer de x à f(x) ?
On part de x.
- On applique la fonction carré à x.
x \longmapsto x^{2} - On applique la fonction affine x+2 à x^{2}.
x^{2}\longmapsto x^{2}+2 - On applique la fonction inverse à x^{2}+2
x^{2}+2\longmapsto \dfrac{1}{x^{2}+2} - On multiplie \dfrac{1}{x^{2}+2} par la constante -5
\dfrac{1}{x^{2}+2}\longmapsto - \dfrac{5}{x^{2}+2} - On applique la fonction affine x+3 à - \dfrac{5}{x^{2}+2}.
- \dfrac{5}{x^{2}+2}\longmapsto - \dfrac{5}{x^{2}+2}+3
La fonction f est donc construite selon l'enchaînement suivant :
x\longmapsto x^{2}\longmapsto x^{2}+2\longmapsto \dfrac{1}{x^{2}+2}\longmapsto -\dfrac{5}{x^{2}+2}\longmapsto -\dfrac{5}{x^{2}+2}+3
Quel est le sens de variation de f sur \left]0;+\infty\right[ ?
Soient a et b deux réels tels que :
0\lt a\lt b
Les membres de l'inéquation étant positifs, on obtient, par passage au carré :
0\lt a^{2}\lt b^{2}
On ajoute 2 à chaque membre :
0+2\lt a^{2}+2\lt b^{2}+2
Les membres de l'inéquation étant positifs, on obtient, par passage à l'inverse :
\dfrac{1}{2}\gt \dfrac{1}{a^{2}+2} \gt \dfrac{1}{b^{2}+2}
Puis, par multiplication de tous les membres par -5 (qui est négatif) :
-\dfrac{5}{2}\lt -\dfrac{5}{a^{2}+2} \lt - \dfrac{5}{b^{2}+2}
On ajoute enfin 3 à chaque membre :
-\dfrac{5}{2}+3\lt -\dfrac{5}{a^{2}+2}+3\lt- \dfrac{5}{b^{2}+2}+3
On en déduit : f\left(a\right)\lt f\left(b\right)
La fonction f est donc croissante sur \left]0;+\infty\right[.
Quel tableau de variations de f sur \mathbb{R} est correct ?
On sait que la fonction f est croissante sur \left]0;+\infty\right[.
Comme on a f\left(-x\right)=-\dfrac{5}{\left(-x\right)^{2}+2}+3=-\dfrac{5}{x^{2}+2}+3=f\left(x\right) alors la fonction est paire. La courbe représentative de f est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
On en déduit que f est décroissante sur \left]-\infty;0\right[
f\left(0\right)=-\dfrac{5}{\left(0\right)^{2}+2}+3=-\dfrac{5}{2}+3=\dfrac{1}{2}
On obtient donc le tableau de variations de f :
