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ou

Les vecteurs

I

Les vecteurs du plan

A

La translation

Translation

Soient A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B est une transformation du plan qui à tout point C associe le point D tel que \(\displaystyle{\left[ AD \right]}\) et \(\displaystyle{\left[ BC \right]}\) ont même milieu.

Cette transformation est appelée translation de vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\).

-

Soient A et B deux points distincts du plan. Le point D est l'image du point C par la translation de vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

-
-
B

Les propriétés

Vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :

  • Une direction
  • Un sens
  • Une norme

On le représente par une flèche.

Soient deux points A et B, et soit \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) le vecteur correspondant à la translation qui transforme A en B.

  • Le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) est un représentant du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).
  • La direction du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est celle de la droite \(\displaystyle{\left( AB \right)}\).
  • Le sens du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est le sens de l'origine A vers l'extrémité B.
  • La norme du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est la longueur AB du segment \(\displaystyle{\left[ AB \right]}\). On la note \(\displaystyle{\left\| \overrightarrow{u} \right\|=\left\| \overrightarrow{AB} \right\|=AB}\).
-

Définir un vecteur revient à définir une translation.

Sur la figure ci-dessous, les points A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et C par la translation de vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).

\(\displaystyle{\overrightarrow{AA'}}\), \(\displaystyle{\overrightarrow{BB'}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CC'}}\) sont donc des représentants du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\). On écrit alors :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{CC'}}\)

-

Un vecteur admet une infinité de représentants.

Vecteur nul

Un vecteur de norme zéro est appelé vecteur nul, et noté \(\displaystyle{\overrightarrow{0}}\).

Quel que soit le point A du plan, on a \(\displaystyle{\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{0}}\).

Opposé d'un vecteur

Soient A et B deux points du plan. Le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{BA}}\) est l'opposé du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\). On note \(\displaystyle{\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}}\).

-

ABCD est un losange de centre O.

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) sont deux vecteurs opposés. On note :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}}\)

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) sont égaux :

  • Si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) ont même direction, même sens et même norme.
  • Si et seulement si D est l'image de C par la translation de vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\).
  • Si et seulement si les segments \(\displaystyle{\left[ AD \right]}\) et \(\displaystyle{\left[ BC \right]}\) ont même milieu
  • Si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)
-

ABCD est un losange de centre O. \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{DC}}\) sont des vecteurs égaux.

M est le milieu de \(\displaystyle{\left[ AB\right]}\) si et seulement si \(\displaystyle{\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}}\).

-
C

Opérations sur les vecteurs

Somme de vecteurs

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) deux vecteurs. La somme des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) est le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{w}}\) associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\). On note \(\displaystyle{\overrightarrow{w}=\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}\).

Relation de Chasles

Soient A, B et C trois points distincts du plan. Alors :

\(\displaystyle{\overrightarrow{A{\color{Red}B}} + \overrightarrow{{\color{Red}B}C} =\overrightarrow{AC}}\)

Cette relation n'est pas vérifiée pour les distances (en général, \(\displaystyle{AB + BC \neq AC}\) ).

Pour dessiner un représentant de la somme \(\displaystyle{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}\), on peut positionner des représentants des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) bout à bout et déterminer un représentant du vecteur somme à l'aide de la relation de Chasles.

-

Pour dessiner un représentant de la somme \(\displaystyle{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}\), on peut positionner des représentants des vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) à partir de la même origine, et construire un parallélogramme dont un représentant du vecteur somme est une "diagonale".

-

Produit d'un vecteur par un réel

Le produit d'un vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) par un réel \(\displaystyle{k}\) est un vecteur noté \(\displaystyle{k\overrightarrow{u}}\) dont les caractéristiques sont les suivantes :

  • \(\displaystyle{k\overrightarrow{u}}\) a la même direction que \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) ;
  • \(\displaystyle{k\overrightarrow{u}}\) a le même sens que \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) si \(\displaystyle{k}\) est positif ou le sens contraire de \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) si \(\displaystyle{k}\) est négatif ;
  • La norme de \(\displaystyle{k\overrightarrow{u}}\) est égale à \(\displaystyle{\left| k \right|\times \left\| \overrightarrow{u} \right\|}\).

Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC] donc les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) ont la même direction et le même sens. De plus, la longueur AB est la moitié de la longueur AC.

On peut donc écrire : \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}}\).

-

Soient k un réel, \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) deux vecteurs. On a :

  • \(\displaystyle{\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} =\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}}\)
  • \(\displaystyle{0 \overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}}\)
  • \(\displaystyle{k \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}}\)
  • \(\displaystyle{k \left(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}\right) =k \overrightarrow{u} + k \overrightarrow{v}}\)

Pour tout point M du plan, on peut écrire :

\(\displaystyle{k\overrightarrow{AB}=k\left( \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB} \right)=k\overrightarrow{AM}+k\overrightarrow{MB}}\)

II

Les coordonnées cartésiennes dans le repère

Le plan est rapporté à un repère \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)}\).

A

Les coordonnées d'un point

Coordonnées d'un point

Soit un point M du plan.
Il existe un unique couple de réels \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\) tels que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{OM} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}}\)

On appelle coordonnées de M dans le repère \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)}\) le couple \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\).

Si \(\displaystyle{\overrightarrow{OA}=5\overrightarrow{i}-\dfrac13\overrightarrow{j}}\), alors les coordonnées de A sont \(\displaystyle{\left( 5;-\dfrac13 \right)}\).

Abscisse et ordonnée

Avec les notations précédentes, le réel \(\displaystyle{x}\) est l'abscisse et le réel \(\displaystyle{y}\) est l'ordonnée du point M.

-

Dans le repère ci-dessus, on a \(\displaystyle{\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{i}+2\overrightarrow{j}}\).

Le point M a donc pour coordonnées \(\displaystyle{M\left( 2,2 \right)}\).

B

Les coordonnées d'un vecteur

Coordonnées d'un vecteur

Soit \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) un vecteur du plan.
Il existe un unique couple de réels \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\) tels que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j}}\)

On appelle coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) dans le repère \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{i} ; \overrightarrow{j}\right)}\) le couple \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\).

Si \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\dfrac56\overrightarrow{i}-3\overrightarrow{j}}\), alors les coordonnées de \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) sont \(\displaystyle{\left( \dfrac56;-3 \right)}\).

Abscisse et ordonnée

Avec les notations précédentes, le réel \(\displaystyle{x}\) est l'abscisse et le réel \(\displaystyle{y}\) est l'ordonnée du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\).

A la différence d'un point, un vecteur du repère n'est pas "fixe" puisqu'il admet une infinité de représentants.

Coordonnées d'un vecteur

Soient deux points du plan A \(\displaystyle{\left(x_{A} ; y_{A}\right)}\) et B \(\displaystyle{\left(x_{B} ; y_{B}\right)}\).
Les coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) vérifient :

\(\displaystyle{x = x_{B} - x_{A}}\)

\(\displaystyle{y = y_{B} - y_{A}}\)

-

On considère les points \(\displaystyle{A\left(\color{Blue}{2};\color{Red}{2}\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(\color{Blue}{4};\color{Red}{5}\right)}\).

On en déduit :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} \color{Blue}{4-2} \cr \color{Red}{5-2} \end{pmatrix}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} 2 \cr 3 \end{pmatrix}}\)

On a bien :

\(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}}\)

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) un vecteur du plan de coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) un vecteur du plan de coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x^{'} \cr y^{'} \end{pmatrix}}\).

Pour tout réel \(\displaystyle{k}\), le vecteur \(\displaystyle{k\overrightarrow{u}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix}k x \cr k y \end{pmatrix}}\).

Le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x+x^{'} \cr y+y^{'} \end{pmatrix}}\).

Si le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} 5 \cr -2 \end{pmatrix}}\) alors le vecteur \(\displaystyle{-3\overrightarrow{AB}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix}-3\times 5 \cr -3\times\left(-2\right) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-15 \cr 6 \end{pmatrix}}\).

Si le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} 5 \cr -2 \end{pmatrix}}\) et le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix} -1 \cr 3 \end{pmatrix}}\) alors le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}}\) a pour coordonnées \(\displaystyle{\begin{pmatrix}5-1 \cr -2+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4 \cr 1 \end{pmatrix}}\).

III

Les vecteurs colinéaires

A

Définition

Vecteurs colinéaires (1)

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel \(\displaystyle{k}\) tel que :

\(\displaystyle{\overrightarrow{u} = k \overrightarrow{v}}\)

Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC]. On peut donc écrire : \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}=\dfrac12 \overrightarrow{AC}}\).

Ainsi les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires.

-

Vecteurs colinéaires (2)

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles.

-

Sur la figure ci-dessus, les deux vecteurs ont des directions parallèles et sont donc colinéaires.

Soient A, B, C et D quatre points du plan.

  • Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{CD}}\) sont colinéaires.
  • Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{BC}}\) sont colinéaires.

Dans le trapèze ABCD ci-dessous, les droites (BC) et (AD) sont parallèles. Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{BC}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AD}}\) sont donc colinéaires.

-

Soient les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 1 \cr -4 \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix} -5 \cr 20 \end{pmatrix}}\). On peut remarquer que \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}=-5\overrightarrow{AB}}\). Donc les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AC}}\) sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés.

B

La caractérisation analytique

Caractérisation analytique

Deux vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr y \end{pmatrix}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\begin{pmatrix} x' \cr y' \end{pmatrix}}\) sont colinéaires si et seulement si :

\(\displaystyle{xy' = x'y}\)

Cela revient à montrer que \(\displaystyle{xy' - x'y = 0}\).

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) \(\displaystyle{\left(\color{Blue}{2} ; \color{Red}{-1}\right)}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) \(\displaystyle{\left(\color{Red}{-6} ; \color{Blue}{3}\right)}\) sont-ils colinéaires ?

Pour le savoir, on calcule :

\(\displaystyle{\color{Blue}{2 \times 3} - \color{Red}{\left(-1\right) \times \left(-6\right)} = 6 - 6 = 0}\)

Les vecteurs \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont donc colinéaires.

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