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Déterminer le cosinus et le sinus d'un angle associé

On sait déterminer le cosinus et le sinus des angles associés de 0, \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{6}}\), \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\), \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\), \(\displaystyle{ \dfrac{\pi}{2}}\) et \(\displaystyle{ \pi}\).

Donner la valeur de \(\displaystyle{\cos \left(\dfrac{7\pi}{6}\right)}\) et de \(\displaystyle{\sin \left(\dfrac{7\pi}{6}\right)}\).

Etape 1

Déterminer l'angle associé utilisé

On connaît les valeurs du cosinus et du sinus de 0, \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{6}}\), \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\), \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\), \(\displaystyle{ \dfrac{\pi}{2}}\) et \(\displaystyle{ \pi}\).

On sait que les angles associés possibles d'un angle x sont :

  • \(\displaystyle{-x}\)
  • \(\displaystyle{\pi-x}\)
  • \(\displaystyle{\pi+x}\)

On détermine l'angle associé demandé en énoncé, en s'aidant éventuellement du cercle trigonométrique :

-

On remarque que :

\(\displaystyle{\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}}\)

On cherche donc les valeurs de \(\displaystyle{\cos \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)}\) et de \(\displaystyle{\sin \left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)}\).

Etape 2

Réciter la formule

D'après le cours, on connaît les formules des angles associés suivants :

  • \(\displaystyle{\sin\left(-x\right)= -\sin\left(x\right)}\) et \(\displaystyle{\cos \left(-x\right) = \cos \left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin \left(\pi+x\right) = -\sin\left(x\right)}\) et \(\displaystyle{\cos \left(\pi+x\right) = -\cos \left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin \left(\pi-x\right) = \sin\left(x\right)}\) et \(\displaystyle{\cos \left(\pi-x\right) = -\cos \left(x\right)}\)

On récite la formule appropriée, que l'on retrouve éventuellement à l'aide du cercle trigonométrique :

-

On sait que :

  • \(\displaystyle{\cos\left(\pi+x\right)=-\cos\left(x\right)}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\pi+x\right)=-\sin\left(x\right)}\)
Etape 3

Rappeler la valeur connue de cos ou de sin

On connaît, d'après le cours, le cosinus et le sinus des angles classiques. Ils sont résumés dans le tableau suivant :

\(\displaystyle{x}\) 0 \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{6}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{2}}\) \(\displaystyle{\pi}\)
\(\displaystyle{\cos\left(x\right)}\) 1 \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt3}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt2}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) 0 −1
\(\displaystyle{\sin\left(x\right)}\) 0 \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt2}{2}}\) \(\displaystyle{\dfrac{\sqrt3}{2}}\) 1 0

Or, on sait que :

  • \(\displaystyle{\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt3}{2}}\)
  • \(\displaystyle{\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}}\)
Etape 4

Appliquer la formule

On calcule alors la valeur demandée.

On a :

\(\displaystyle{\cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}}\)

De plus, on a :

\(\displaystyle{\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{6}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{\sin\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}}\)

Si l'angle associé n'apparaît pas directement, on ajoute ou on soustrait un multiple de \(\displaystyle{2\pi}\) afin de le retrouver.

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