Seconde 2015-2016

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Décomposer une fonction en un enchaînement de fonctions usuelles

Les fonctions usuelles sont les fonctions affines, la fonction carrée, la fonction inverse et les fonctions polynômes de degré 2. Certaines fonctions peuvent être écrites comme un enchaînement de fonctions usuelles de la classe de 2nde.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left] -1 ; +\infty \right[}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)= \dfrac{2}{\left(x+1\right)^2} -3}\)

Décomposer cette fonction en un enchaînement de fonctions usuelles.

Etape 1

Repérer la première opération

Dans l'expression de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\), on repère l'endroit où se situe x.

On détermine quelle opération il subit en premier. Il y a plusieurs possibilités :

  • \(\displaystyle{x \mapsto ax+b}\)
  • \(\displaystyle{x \mapsto x^2}\)
  • \(\displaystyle{x \mapsto \dfrac{1}{x}}\)
  • \(\displaystyle{x \mapsto ax^2+bx+c}\)

On remarque que le x est situé au dénominateur. La première opération qu'il subit l'addition de 1 :

\(\displaystyle{x \mapsto x+1}\)

Etape 2

Identifier l'opération suivante

On considère désormais l'expression déterminée précédemment. On détermine quelle est l'opération suivante que cette expression subit.

Par exemple, si la première opération est \(\displaystyle{x \mapsto ax+b}\) et qu'ensuite l'expression \(\displaystyle{\left(ax+b\right)}\) est élevée au carré, on écrit :

\(\displaystyle{x \mapsto ax+b \mapsto \left(ax+b\right)^2}\)

Ensuite l'expression \(\displaystyle{\left(x+1\right)}\) est élevée au carré. Cela donne :

\(\displaystyle{x \mapsto x+1 \mapsto \left(x+1\right)^2}\)

Etape 3

Identifier dans l'ordre toutes les autres opérations

On considère ensuite l'expression issue de la deuxième opération et on détermine l'opération que celle-ci subit par la suite.

On continue ce processus jusqu'à avoir construit la fonction en intégralité.

On notera le résultat par un enchaînement :

\(\displaystyle{x \mapsto u\left(x\right) \mapsto v\left(x\right) \mapsto w\left(x\right) \mapsto f\left(x\right)}\)

On identifie les opérations suivantes :

  • \(\displaystyle{\left(x+1\right)^2}\) est passée à l'inverse \(\displaystyle{\left(x+1\right)^2 \mapsto \dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}\).
  • \(\displaystyle{ \dfrac{1}{\left(x+1\right)^2}}\) est multipliée par 2 et on retire 3 au résultat.

On obtient finalement :

\(\displaystyle{x \mapsto x+1 \mapsto \left(x+1\right)^2 \mapsto \dfrac{1}{\left(x+1\right)^2} \mapsto 2 \times \dfrac{1}{\left(x+1\right)^2} -3}\)

Chapitre 2 Les fonctions usuelles
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