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Déterminer l'expression d'une fonction affine

Méthode 1

En utilisant le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine

Si on a la représentation graphique d'une fonction affine, on peut obtenir son expression en déterminant le coefficient directeur a et l'ordonnée à l'origine b.

On donne la représentation graphique d'une fonction affine f. À l'aide du graphique, déterminer l'expression réduite de f.

-
Etape 1

Donner l'expression réduite d'une fonction affine

On rappelle qu'une fonction affine f est représentée par une droite et admet une expression de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\).

f est une fonction affine, elle a une expression de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax+b}\), avec :

  • a le coefficient directeur de la droite
  • b l'ordonnée à l'origine
Etape 2

Calculer le coefficient directeur de la droite

On identifie deux points \(\displaystyle{A\left(x_A; y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B ; y_B\right)}\) appartenant à la droite.

D'après le cours, on sait que le coefficient directeur a est égal à :

\(\displaystyle{a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

On calcule a.

On identifie deux points appartenant à la droite.

-

\(\displaystyle{A\left(0;-4\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(2;2\right)}\) appartiennent à la droite.

Or, on sait que :

\(\displaystyle{a = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{a = \dfrac{2-\left(-4\right)}{2-0}}\)

\(\displaystyle{a = \dfrac{6}{2}=3}\)

Etape 3

Lire l'ordonnée à l'origine

Sur le graphique, on détermine la valeur de b en lisant l'ordonnée à l'origine, soit l'ordonnée de l'intersection de la droite avec l'axe des ordonnées.

-

De plus, on lit graphiquement que l'ordonnée à l'origine est \(\displaystyle{b=-4}\).

Etape 4

Conclure sur l'expression de la fonction affine

On conclut en donnant l'expression réduite de la fonction affine f.

On conclut que la fonction f a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=3x-4}\)

Méthode 2

En résolvant un système

Afin de déterminer l'expression réduite d'une fonction affine f, on peut choisir deux points de sa droite représentative et résoudre le système à deux équations et deux inconnues obtenu.

On donne la représentation graphique d'une fonction affine f. À l'aide du graphique, déterminer l'expression réduite de f.

-
Etape 1

Donner l'expression d'une fonction affine

f est une fonction affine, elle a une expression de la forme \(\displaystyle{f\left(x\right) = ax+b}\).

La courbe représentative de la fonction f est une droite non parallèle à l'axe des ordonnées. C'est donc la courbe représentative d'une fonction affine qui admet pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = ax+b}\)

Etape 2

Déterminer les coordonnées de deux points de la droite

On identifie deux points \(\displaystyle{A\left(x_A; y_A\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(x_B ; y_B\right)}\) appartenant à la droite.

On identifie deux points de la droite :

-

Ici, on choisit \(\displaystyle{A\left(0;1,5\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(1;-0,5\right)}\).

Etape 3

Poser le système

En prenant \(\displaystyle{y=ax+b}\) comme équation de la droite, on obtient le système :

\(\displaystyle{\begin{cases} y_A = ax_A+b \cr \cr y_B = ax_B +b \end{cases}}\)

A et B appartenant à la droite, leurs coordonnées vérifient l'équation de la droite. On a donc :

\(\displaystyle{\begin{cases} f\left(0\right)=1,5 \cr \cr f\left(1\right)=-0,5\end{cases}}\)

On obtient le système d'équations suivant, d'inconnues a et b :

\(\displaystyle{\begin{cases} 1,5=a\times0+b \cr \cr -0,5 = a+b\end{cases}}\)

Etape 4

Résoudre le système

On résout le système de deux équations à deux inconnues. On détermine ainsi a et b.

\(\displaystyle{\begin{cases} 1,5=a\times0+b \cr \cr -0,5 = a+b\end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} 1,5=b \cr \cr -0,5 = a+b\end{cases}}\)

Et, en remplaçant b par sa valeur dans la deuxième équation :

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} 1,5=b \cr \cr -0,5 = a+1,5\end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow \begin{cases} b=1,5 \cr \cr a=-2\end{cases}}\)

Etape 5

Conclure sur l'expression de la fonction affine obtenue

On conclut en donnant l'expression obtenue de la fonction affine f.

On conclut que la fonction f a pour expression :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=-2x+1,5}\)

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