Seconde 2015-2016
Kartable
Seconde 2015-2016
I

Les vecteurs du plan

A

La translation

Translation

Soient A et B deux points distincts du plan. La translation qui transforme A en B est une transformation du plan qui à tout point C associe le point D tel que [AD] et [BC] ont même milieu.

Cette transformation est appelée translation de vecteur AB.

-

Soient A et B deux points distincts du plan. Le point D est l'image du point C par la translation de vecteur AB si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).

-
-
B

Les propriétés

Vecteur

Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par :

  • Une direction
  • Un sens
  • Une norme

On le représente par une flèche.

Soient deux points A et B, et soit u le vecteur correspondant à la translation qui transforme A en B.

  • Le vecteur AB est un représentant du vecteur u.
  • La direction du vecteur u est celle de la droite (AB).
  • Le sens du vecteur u est le sens de l'origine A vers l'extrémité B.
  • La norme du vecteur u est la longueur AB du segment [AB]. On la note u=AB=AB.
-

Définir un vecteur revient à définir une translation.

Sur la figure ci-dessous, les points A', B' et C' sont les images respectives des points A, B et C par la translation de vecteur u.

AA, BB et CC sont donc des représentants du vecteur u. On écrit alors :

u=AA=BB=CC

-

Un vecteur admet une infinité de représentants.

Vecteur nul

Un vecteur de norme zéro est appelé vecteur nul, et noté 0.

Quel que soit le point A du plan, on a AA=0.

Opposé d'un vecteur

Soient A et B deux points du plan. Le vecteur BA est l'opposé du vecteur AB. On note BA=AB.

-

ABCD est un losange de centre O.

AB et CD sont deux vecteurs opposés. On note :

AB=CD

Les vecteurs AB et CD sont égaux :

  • Si et seulement si AB et CD ont même direction, même sens et même norme.
  • Si et seulement si D est l'image de C par la translation de vecteur AB.
  • Si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont même milieu
  • Si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati)
-

ABCD est un losange de centre O. AB et DC sont des vecteurs égaux.

M est le milieu de [AB] si et seulement si AM=MB.

-
C

Opérations sur les vecteurs

Somme de vecteurs

Soient u et v deux vecteurs. La somme des vecteurs u et v est le vecteur w associé à la translation résultant de l'enchaînement des translations de vecteurs u et v. On note w=u+v.

Relation de Chasles

Soient A, B et C trois points distincts du plan. Alors :

AB+BC=AC

Cette relation n'est pas vérifiée pour les distances (en général, AB+BCAC ).

Pour dessiner un représentant de la somme u+v, on peut positionner des représentants des vecteurs u et v bout à bout et déterminer un représentant du vecteur somme à l'aide de la relation de Chasles.

-

Pour dessiner un représentant de la somme u+v, on peut positionner des représentants des vecteurs u et v à partir de la même origine, et construire un parallélogramme dont un représentant du vecteur somme est une "diagonale".

-

Produit d'un vecteur par un réel

Le produit d'un vecteur u par un réel k est un vecteur noté ku dont les caractéristiques sont les suivantes :

  • ku a la même direction que u ;
  • ku a le même sens que u si k est positif ou le sens contraire de u si k est négatif ;
  • La norme de ku est égale à ||k||×u.

Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC] donc les vecteurs AB et AC ont la même direction et le même sens. De plus, la longueur AB est la moitié de la longueur AC.

On peut donc écrire : AB=12AC.

-

Soient k un réel, u et v deux vecteurs. On a :

  • u+v=v+u
  • 0u=0
  • k0=0
  • k(u+v)=ku+kv

Pour tout point M du plan, on peut écrire :

kAB=k(AM+MB)=kAM+kMB

II

Les coordonnées cartésiennes dans le repère

Le plan est rapporté à un repère (O;i;j).

A

Les coordonnées d'un point

Coordonnées d'un point

Soit un point M du plan.
Il existe un unique couple de réels (x;y) tels que :

OM=xi+yj

On appelle coordonnées de M dans le repère (O;i;j) le couple (x;y).

Si OA=5i13j, alors les coordonnées de A sont (5;13).

Abscisse et ordonnée

Avec les notations précédentes, le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du point M.

-

Dans le repère ci-dessus, on a OM=2i+2j.

Le point M a donc pour coordonnées M(2,2).

B

Les coordonnées d'un vecteur

Coordonnées d'un vecteur

Soit u un vecteur du plan.
Il existe un unique couple de réels (x;y) tels que :

u=xi+yj

On appelle coordonnées du vecteur u dans le repère (O;i;j) le couple (x;y).

Si AB=56i3j, alors les coordonnées de AB sont (56;3).

Abscisse et ordonnée

Avec les notations précédentes, le réel x est l'abscisse et le réel y est l'ordonnée du vecteur u.

A la différence d'un point, un vecteur du repère n'est pas "fixe" puisqu'il admet une infinité de représentants.

Coordonnées d'un vecteur

Soient deux points du plan A(xA;yA) et B(xB;yB).
Les coordonnées (xy) du vecteur AB vérifient :

x=xBxA

y=yByA

-

On considère les points A(2;2) et B(4;5).

On en déduit :

AB(4252)

Finalement :

AB(23)

On a bien :

AB=2i+3j

Soient u un vecteur du plan de coordonnées (xy) et v un vecteur du plan de coordonnées (xy).

Pour tout réel k, le vecteur ku a pour coordonnées (kxky).

Le vecteur u+v a pour coordonnées (x+xy+y).

Si le vecteur AB a pour coordonnées (52) alors le vecteur 3AB a pour coordonnées (3×53×(2))=(156).

Si le vecteur AB a pour coordonnées (52) et le vecteur CD a pour coordonnées (13) alors le vecteur AB+CD a pour coordonnées (512+3)=(41).

III

Les vecteurs colinéaires

A

Définition

Vecteurs colinéaires (1)

Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k tel que :

u=kv

Sur la figure ci-dessous, B est le milieu de [AC]. On peut donc écrire : AB=12AC.

Ainsi les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

-

Vecteurs colinéaires (2)

Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs directions sont parallèles.

-

Sur la figure ci-dessus, les deux vecteurs ont des directions parallèles et sont donc colinéaires.

Soient A, B, C et D quatre points du plan.

  • Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.
  • Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et BC sont colinéaires.

Dans le trapèze ABCD ci-dessous, les droites (BC) et (AD) sont parallèles. Les vecteurs BC et AD sont donc colinéaires.

-

Soient les vecteurs AB(14) et AC(520). On peut remarquer que AC=5AB. Donc les vecteurs AB et AC sont colinéaires et les points A, B et C sont alignés.

B

La caractérisation analytique

Caractérisation analytique

Deux vecteurs u(xy) et v(xy) sont colinéaires si et seulement si :

xy=xy

Cela revient à montrer que xyxy=0.

Les vecteurs u(2;1) et v(6;3) sont-ils colinéaires ?

Pour le savoir, on calcule :

2×3(1)×(6)=66=0

Les vecteurs u et v sont donc colinéaires.

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