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Déterminer une mesure d'un angle à l'aide des complexes

Méthode 1

Calculer une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)}\)

Afin de déterminer une mesure de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)}\), on détermine un argument de \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\).

Soient les points A et B d'affixes respectives \(\displaystyle{z_A = 1+i}\) et \(\displaystyle{z_B = -1+i}\).

Soit O l'origine du repère.

Calculer une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right)}\).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right) = arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}\right) +2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in \mathbb{Z}}\)

On sait que :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB}\right) = arg\left(\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O}\right) +2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

Etape 2

Calculer le complexe \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\)

On écrit \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

\(\displaystyle{\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{-1+i-0}{1+i-0}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{\left(-1+i\right)\left(1-i\right)}{\left(1+i\right)\left(1-i\right)}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{-1+i+i+1}{1^2+1^2}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = \dfrac{2i}{2}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} = i}\)

Etape 3

Calculer le module de \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\)

On calcule \(\displaystyle{\left| \dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right|}\) en utilisant la forme algébrique du complexe.

On détermine le module de ce complexe :

\(\displaystyle{\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| = \left| i \right|}\)

\(\displaystyle{\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| =\sqrt {0^2+1^2}}\)

\(\displaystyle{\left| \dfrac{z_B-z_O}{z_A-z_O} \right| =1}\)

Etape 4

Déterminer un argument de \(\displaystyle{\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A}}\) et conclure

On peut ensuite déterminer \(\displaystyle{arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)}\). On en déduit une mesure de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD}\right)}\).

On pose \(\displaystyle{\theta =arg\left(\dfrac{z_D-z_C}{z_B-z_A} \right)}\).

On sait que :

  • \(\displaystyle{\cos \theta = \dfrac{0}{1} = 0}\)
  • \(\displaystyle{\sin \theta = \dfrac{1}{1} = 1}\)

Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :

\(\displaystyle{\theta = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi}\), \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}\right)= \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi}\), \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\)

Méthode 2

Calculer une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)}\)

Dans le repère \(\displaystyle{\left(O; \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right)}\), afin de déterminer une mesure de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)}\), on détermine un argument de \(\displaystyle{\left(z_B-z_A\right)}\).

Soit le repère \(\displaystyle{\left(O; \overrightarrow{u} ;\overrightarrow{v}\right)}\).

Soient les points A et B d'affixes respectives \(\displaystyle{z_A = 3+5i}\) et \(\displaystyle{z_B = 5+3i}\).

Calculer une mesure de \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB}\right)}\).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) = arg\left(z_B-z_A\right) +2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

On sait que :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right) = arg\left(z_B-z_A\right) +2k\pi}\), \(\displaystyle{k\in\mathbb{Z}}\)

Etape 2

Calculer le complexe \(\displaystyle{z_B-z_A}\)

On écrit \(\displaystyle{z_B-z_A}\) sous forme algébrique afin de déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

\(\displaystyle{z_B-z_A = 5+3i-\left(3+5i\right)}\)

\(\displaystyle{z_B-z_A = 5+3i-3-5i}\)

\(\displaystyle{z_B-z_A = 2-2i}\)

Etape 3

Calculer le module de \(\displaystyle{z_B-z_A}\)

On calcule \(\displaystyle{\left| z_B-z_A \right|}\) en utilisant la forme algébrique du complexe.

On en déduit que :

\(\displaystyle{\left| z_B-z_A \right| = \left| 2-2i \right|}\)

\(\displaystyle{\left| z_B-z_A \right| = \sqrt{2^2+\left(-2\right)^2}}\)

\(\displaystyle{\left| z_B-z_A \right| = 2\sqrt{2}}\)

Etape 4

Déterminer un argument de \(\displaystyle{z_B-z_A}\) et conclure

On peut ensuite déterminer \(\displaystyle{arg\left(z_B-z_A \right)}\).

On en déduit une mesure de l'angle \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u};\overrightarrow{AB}\right)}\).

On pose \(\displaystyle{\theta =arg\left(z_B-z_A \right)}\).

On a :

  • \(\displaystyle{\cos \theta = \dfrac{2}{2\sqrt 2} = \dfrac{\sqrt 2}{2}}\)
  • \(\displaystyle{\sin \theta = \dfrac{-2}{2\sqrt 2} = -\dfrac{\sqrt 2}{2}}\)

Donc, à l'aide du cercle trigonométrique et des valeurs de cos et sin des angles remarquables, on en déduit que :

\(\displaystyle{\theta =- \dfrac{\pi}{4} + 2k\pi}\), \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u}; \overrightarrow{AB}\right)= -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi}\), \(\displaystyle{k \in \mathbb{Z}}\)

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